2019暑训 Day5 树与并查集

Day 5

1. 并查集查询的两种优化办法：按秩合并（缺陷是无法控制谁会成为父节点）、路径压缩（缺陷是树的结构被破坏）
2. 最小生成树的两种算法：Prim算法和Kruscal算法。Prim算法与dij十分类似，从一个点开始扩散，将当前树的所有邻点中权重最小的加入树中，不断循环即可。Kruscal算法先将所有边的权重进行排序，从小到大进行遍历。如果当前边有两个点在树中了，那么continue进入下一条边；如果仅有一个点在树中，那么将另外一个点加入树中；如果没有点在树中，全部加入即可。
   对于kruscal算法，需要考虑会不会形成回路。 只有在不形成回路的情况下，才能加入到最小生成树中。显然只有在两个点原本都在树中的情况下才可能会产生回路，从而我们只需要对这种情况进行判断即可。判断回路可以dfs搜索，也可以用并查集。
   Kru算法和Prim算法图文详解 里面用了三个函数处理这个问题，一个是搜索某边端点在树中的个数，一个根据个数来进行不同的操作，最后一个单独用来判断是否有环。
   最后，我们比较一下两个算法的效率和时间复杂度。 Kruscal只需要对所有边进行一次排序，而prim算法在加入新点的时候会不断进行排序，尽管可以用优先队列优化排序算法，但是其效率还是略低于kru算法的。当我们比较两种算法的原理时，会发现pri是通过点的扩散构造出该生成树，而kru是根据边的权重来构造出该生成树。所以我们说，prime算法更适用于稠密图，时间复杂度是O(n^2)；而kru更加适用于稀疏图，时间复杂度是O(eloge)。