图论——最短路之Floyd&Dijkstra

概念：

    求图上一点到另一点的最短距离。

算法：

    一：Floyd（弗洛伊德） 

        Floyd算法可以求出图上任意一点到另一点的最短距离。

        思想：通过三重循环，用两重循环来枚举任意两点，一重循环枚举中节点，如果第一个点到中点+另一点到中点的距离<这两点先前的距离，则这两点的距离=第一个点到中点+另一点到中点的距离。

        代码如下：

inline void Floyd() {
	for (int k=1;k<=n;k++) //枚举中结点，i、j表示另两点 
		for (int i=1;i<=n;i++)
			for (int j=1;j<=n;j++)
				if (a[i][k]+a[k][j]

        但是！Floyd的时间复杂度非常高，也非常稳定，为O(n^3)。只能在n<=500的情况下使用。

        Floyd可以无视负权，但不能判断负权回路，这就是接下来介绍的Dijkstra算法所不能及的了。

    二：Dijkstra（迪杰斯特拉）

        Dijkstra算法是求单元点到图中除单元点外任何一点的最短距离。

        这个算法只能用来求一个点到其他点的距离，时间复杂度为O(n^2)。如果将每个点都做一遍Dijkstra，那它的效果也就相当于是Floyd。但是它相对于Floyd的好处就是可以O(n^2)求单元点到其他点的距离，这个Floyd就做不到了。

        思想：利用贪心的思想，求出在该点连接的边中，找到权值最小的一条，那么这条边就是到这个点到原点的最短路（因为不可能有其他边更新的边会比这条边短了）。再通过这个点，去更新其他与改点所连的点，如果原点到被该点连接的点的距离<原点到改点+改点连接的边的距离，则更新被连点到原点的距离，最后将该点赋值为真，避免下次再重复更新（每个点最初到原点的距离为正无穷，原点到原点除外）。

        代码如下：//这里采用邻接矩阵的写法，有兴趣可以去参考其他用邻接表的写法

inline void dijkstra(int st) {
	memset(f,0,sizeof(f)); //fi表示单元点到i的最短距离是否被确定
	memset(dis,10,sizeof(dis)); //memset 10表示正无穷 
	for (int i=1;i<=n;i++) dis[i]=a[i][st]; //dis数组表示单元点到i的距离
	f[st]=1,dis[st]=0; //前者表示单元点到单元点的距离唯一，后者表示单元点到单元点的距离为0 
	for (int i=1;i<=n;i++) {
		int minn=2147483647,k=0; //k表示为未被使用过的连接原点的点的编号（有点拗口）
		for (int j=1;j<=n;j++) 
			if (!f[j] && dis[j]

        这里要特别注意一点就是赋值成正无穷，不仅dis数组，a数组读进来之前也要，不然就会输出0。

        Dijkstra算法还可以通过堆优化，可以将时间复杂度优化到O(n log(n))，有兴趣可以去查阅资料，这里就不再说明（主要是因为我也不会）。

        但是Dijkstra在有负权回路的情况下，会怎么样，自行想象。在这种情况下，就要用到Bellman-Ford或者SPFA，具体用法见下文。