高维空间中椭圆的基本方程

二维空间下椭圆基本方程为

                                                    (1)

这个是我们大家都熟知的，但是，如果背景空间不是二维空间，而是N维欧式空间中的椭圆，其表达式应该是什么样式的？
为了对这个问题论证比较严格，在下述过程中采用了微分几何中的一些思想，而且用了微分几何中的一些标记。但是如果没有微分几何的基础也能够看懂。这个问题的本质在于坐标变换。只要对坐标变换有一些了解，理解以下内容并没有难度。
椭圆方程写为参数方程形式为：

                                             (2)

 

其中，x上标1和2，本质意思是表示在第一轴和第二轴上的分量

这个参数方程可以看做是以下参数方程的简写：

                                                            (3)

对原理不要求理解的可以忽略双线内的这几段，对方法掌握无影响

《======================================================

然后(2)可以写为另一种等价的形式：

                                                      (4) 

(3)按照同样的方法也可以写为同样的形式：

            (5)

其中，是微分几何中对于坐标基矢的表示，对应于我们在三维直角坐标系中习惯用的，由于是N维欧式空间，用只能表示三维，不方便，所以直接用微分几何的符号，只需记住，这两组符号是等价的即可。

================================================================================》

于是，(4)可以将坐标基矢全部省略，写为

                                            (6)

其中，

                                         (7)

在新的坐标系中，椭圆在各个坐标轴方向的分量为

                                                    (8)

《============================

也就是

          (9)

===================================》

两组坐标矢量之间的关系，对应的一组变换矩阵，外加一个平移矢量。这个变换矩阵可以是奇异的，也可以死非奇异的，都可以。变换示意图如下：

然后，带 ' 的x和不带 ’的x之间的关系可以表示为：

           (10) 

于是，根据(7)可以得到，

                                            (11)

将(2)带入得 

                                (12) 
整理得

                                       (13) 
或是

                                           (14) 

所以，得到结论，高维空间中椭圆方程为普通形式为(13)或者(14).

但有点需要注意， (13)或者(14) 得到的结果并不一定一定是椭圆，还可能是椭圆的两种退化形式，椭圆的偏心率e所在的范围是(0,1),不包括边界，所以两种退化形式，一个是偏心率e=0时，即为圆，另一个是偏心率e=1，退化为线段。是否椭圆，还有一些判别公式，相关理论还没整理完成，暂时不论证了。


该套方法可以将低维空间中任意函数曲线扩展到高维空间中，并不只限于椭圆