最美二叉树—平衡二叉树

目录

一、平衡二叉树的定义

二、平衡二叉树的插入

三、调整最小不平衡子树A

四、调整最小不平衡子树（LL）

五、调整最小不平衡子树（RR）

七、调整最小平衡子树（LR）

八、调整最小不平衡子树（RL）

九、调整最小不平衡子树

十、练习

十、查找效率分析

十一、总结

一、平衡二叉树的定义

平衡二叉树，简称平衡树（AVL树）——树上任一结点的左子树和右子树的高度之差不超过1。

结点的平衡因子=左子树高-右子树高。

typedef struct AVLNode{
    int key;
    int balance;
    struct AVLNode *lchild,*rchild;
}AVLNode,*AVLTree;

二、平衡二叉树的插入

思考：在二叉排序树中插入新结点后，如何保持平衡？

注：每次调整的对象都是“最小不平衡子树”

三、调整最小不平衡子树A

四种情况：

①LL——在A的左孩子的左子树中插入导致不平衡

②RR——在A的右孩子的右子树中插入导致不平衡

③LR——在A的左孩子的右子树中插入导致不平衡

④RL——在A的右孩子的左子树中插入导致不平衡

四、调整最小不平衡子树（LL）

目标：1.恢复平衡；2.保持二叉排序树特性

二叉排序树的特性：左子树结点值<根节点值<右子树结点值

BL

LL平衡旋转（右单旋转）。由于在结点A的左孩子（L）的左子树（L）上插入了新结点，A的平衡因子由1增至2，导致以A为根的子树失去平衡，需要一次向右的旋转操作。将A的左子树B向右上旋转代替A称为根节点，将A结点向右下旋转称为B的右子树的根结点，而B的原右子树则作为A结点的左子树。

五、调整最小不平衡子树（RR）

二叉排序树的特性：左子树结点值<根节点值<右子树结点值

AL

RR平衡旋转（左单旋转）。由于在结点A的右孩子（R）的右子树（R）上插入了新结点，A的平衡因子由-1减至-2，导致以A为根的子树失去平衡，需要一次向左的旋转操作，将A的右孩子B向左上旋转代替A称为根结点，将A结点向左下旋转称为B的左子树的根结点，而B的原左子树则作为A结点的右子树

代码思路

实现f向右下旋转，p向右上旋转：

其中f是爹，p为左孩子，g为f他爹

①f->lchild = p->rchild;

②p->rchild = f;

③gf->lchild/rchild = p;

BL

实现f向左下旋转，p向左手旋转：

其中f是爹，p为右孩子，gf为f他爹

①f->rchild = p->lchild;

②p->lchild = f;

③gf->lchild/rchild = p;

AL

七、调整最小平衡子树（LR）

LR平衡旋转（先左后右双旋转）。由于在A的左孩子（L）的右子树（R）上插入新结点，A的平衡因子由1增至2，导致以A为根的子树失去平衡，需要进行两次旋转操作，先左旋转后又旋转。先将A结点的左孩子B的右子树的根结点C向左上旋转提升到B结点的位置，然后再把该C结点向右上旋转提升到A结点的位置

BL

两种情况：

①

②

八、调整最小不平衡子树（RL）

RL平衡旋转（先右后左双旋转）。由于在A的右孩子（R）的左子树（L）上插入新结点，A的平衡因子由-1减至-2，导致以A为根的子树失去平衡，需要进行两次旋转操作，先右旋转后左旋转。先将A结点的右孩子B的左子树的根节点C向右上旋转提升到B结点的位置，然后再把该C结点向左上旋转提升到A结点的位置

两种情况：

①

②

九、调整最小不平衡子树

总结：只有左孩子才能右上旋转，只有右孩子才能左上旋转

插入操作导致“最小不平衡子树”高度+1，经过调整后高度恢复

十、练习

1.RR型

2.RL型

3.LR型

十、查找效率分析

若树高为h，则最坏情况下，查找一个关键字最多需要对比h次，即查找操作的时间复杂度不可能超过O（h）

十一、总结