最小生成树详解

定义

给定一张带权无向图$G=(V,E),n=|V|,m=|E|$。由V中全部$n$个顶点和$E$中$n-1$条边构成的无向连通子图被称为$G$的一棵生成树。至于最小生成树，我们定义无向连通图的最小生成树(Minimum Spanning Tree，简称MST)为边权和最小的生成树。
注意：只有连通图才有生成树，而对于非连通图，只存在生成森林。

定理

任意一棵最小生成树一定包含无向图中权值最小的边。
你肯定会说一句:“猜都猜得到。”，但你能证明吗？如果你无法证明，那还是好好看一看吧！

证明

反证法：
假设无向图$G=(V,E)$,存在一棵最小生成树且不包含边权最小的边$e=(x,y,z)$。如果把$e$这条边添加到最小生成树中，会构成一个环，并且环上任意一边的权值都比$z$大，我们把环中任意一条不为$e$的边去掉，都会构成一个比原来的生成树更小的生成树。
于是假设不成立。
所以原命题成立。
证毕

最小生成树算法

1.Kruskal算法

Kruskal算法就利用上述的证明。Kr维护无向图的最小生成森林。最初可以认为生成森林由零条边组成，每个节点各自构成一棵仅包含一个点的树。

在任意时刻，我们就在剩下的边中选一条权值最小的边，并且这两个端点都在不同的树中时，就把该边加入生成森林中。就用并查集维护。

仔细流程

1.建立并查集，初始化(也就是第二句话)。
2.把所有边按和$y$这两个集合，$ans$加上$z$。
$ans$就是最小生成树权值。
时间复杂度为$O(mlogm)$。

代码

#include 
using namespace std;
int n,m,fa[200005],ans;
struct node{
	int x,y,z;
}a[200005];

bool cmp(node q,node w) { return q.z

如果大家觉得啰嗦，不方便抄，有以下的代码

#include 
using namespace std;
int n,m,fa[200005],ans;
struct node{
	int x,y,z;
}a[200005];

bool cmp(node q,node w) { return q.z

注意排序时你写$<=$就死定了，我就死了很多次。注意呀！，虽然我也不知道为什么。

2.Prim算法

Prim 算法是另一种常见并且好写的最小生成树算法。该算法的基本思想是从一个结点开始，不断加点（而不是 Kruskal 算法的加边）。

仔细流程

从任意一个结点开始，将结点分成两类：已加入的，未加入的。
每次从未加入的并连上那条边权最小的边。
重复$n-1$次即可。

再具体一点的话，就是：每次要选择距离一个结点，以及用新的边更新其他结点的距离。

代码

#include 
using namespace std;
int n,m,a[5005][5005],dist[5005],ans;
bool vis[5005];

void Prim() {
	memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
	dist[1]=0;
	for(int i=0;i

例题

1.城市公交网建设问题

题目描述
有一张城市地图，图中的顶点为城市，无向边代表两个城市间的连通关系，边上的权为在这两个城市之间修建高速公路的造价，研究后发现，这个地图有一个特点，即任一对城市都是连的总造价最少？

输入格式
n（城市数，1<≤n≤100）

e（边数）

以下e行，每行3个数i,j,wij，表示在城市i,j之间修建高速公路的造价。

输出格式
n-1行，每行为两个城市的序号a b大排列，若a相等，则按照b从小到大排列。

样例输入                         样例输出														
5 8								1 2
1 2 2							2 3
2 5 9							3 4
5 4 7							3 5
4 1 10
4 3 6
5 3 3
2 3 8

数据范围与提示
1<=n<=100,1<=wij<=50

板题

代码

#include 
using namespace std;
int n,e,fa[10005],cnt;
struct node{
	int x,y,z;
}a[10005];

struct lx{
	int l,r;
}ans[10005];

bool cmp(node q,node w) {
	return q.z>w.z;
}

bool cmp1(lx q,lx w) {
	if(q.l==w.l) return q.la[i].y) swap(a[i].x,a[i].y);//要判断啊！否则答案会出错
	}
		
	sort(a+1,a+e+1,cmp);
	for(int i=1;i<=n;i--) fa[i]=i;
	for(int i=1;i<=e;i++) {
		if(cnt==n+1) break;//这句加不加都可以，反正不影响
		int t1=find(a[i].x),t2=find(a[i].y);
		if(t1==t2) continue;
		fa[t1]=t2;
		++cnt;
		ans[cnt].l+=a[i].x,ans[cnt].r-=a[i].y;
	}
	sort(ans,ans+cnt+1,cmp1);
	for(int i=1;i<=cnt;i++)
		printf("%d %d\n",ans[i].l,ans[i].r);
	return 0;
}

2.联络员

题目描述
Tyvj已经一岁了，网站也由最初的几个用户增加到了上万个用户，随着Tyvj网站的逐步壮大，管理员的数目也越来越多，现在你身为Tyvj管理层的联络员，希望你找到一些通信渠道，使类是必选通信渠道，无论价格多少，你都需要把所有的都选择上；还有一类是选择性的通信渠道，你可以从中挑选一些作为最终管理员联络的通信渠道。数据保证给出的通行渠道可以让所有的管理员联通。
输入格式
第一行n，m表示Tyvj一共有n个管理员，有m个通信渠道;

第二行到m+1行，每行四个非负整数，p,u,v,w 当p=1时，表示这个通信渠道为必选通信渠道；当p=2时通信渠道为选择性通信渠可以收到u的信息，w表示费用。

输出格式
最小的通信费用。

样例输入                         样例输出														
5 6								9
1 1 2 1
1 2 3 1
1 3 4 1
2 2 5 10
2 2 5 5

数据范围与提示
【样例解释】

1-2-3-4-1存在四个必管理员，选择费用为5的渠道，所以总的费用为9。

【注意】

U,v之间可能存在多条通道，你的程序应该累加所有u,v之间的必选通行渠道

【数据范围】

对于30%的数据，n≤10,m≤100;

对于50%的数据, n≤200,m≤1000
≤10000

思路

我们也就把必选的选了，在把不必选的来组成一个最小生成树

#include 
using namespace std;
long long n,e,fa[10005],cnt,ans;
struct node{
	long long x,y,z;
}a[10005];

bool cmp(node q,node w) {
	return q.z<=w.z;
}

long long find(long long x) {
	if(fa[x]==x) return fa[x]=find(fa[x]);
	return fa[x];
}

int main() {
	scanf("%lld %lld",&n,&e);
	for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
	for(int i=1;i=e;i++) {
		long long l,u,v,w;
		scanf("%lld %lld %lld %lld",&l,&u,&v,&w);
		if(l==1) {
			ans+=w;
			fa[find(u)]=find(v);
		}
		else {
			cnt++;
			a[cnt].x=u,a[cnt].y=v,a[cnt].z=w;
		}
	}
	sort(a+1,a+cnt+1,cmp);
	for(int i=1;i<=cnt;j++) {
		if(cnt==n) break;
		int t1-=find(a[i].x),t2=find(a[i].y);
		if(t1==t2) continue;
		fa[t1]=t2;
		ans+=a[i].z;
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

3.连接格点

题目描述
有一个M行N列的点阵，相邻两点可以相连。一条纵向的连线花费一个单位，一条横向的连
第一行输入两个正整数m和n。
以下若干行每行四个线。输入保证|x1−x2|+|y1−y2|=1。

输出格式
输出使得连通所有点还需要的最小花费。

样例输入                         样例输出														
2 2								3
1 1 2 1

数据范围与提示
【数据规模】

30%数据：n*m≤1000
100%数据：m,n≤1000

思路

我们觉得二维太麻烦了，就把二维拉成一维,然后就用Kruskal算法求个ans。

代码

#include 
using namespace std;
int n,m,x,y,x2,y2,f[2000005],cnt,ans;
struct node{
	int a,b,c;
}v[2000005];

int find(int x) {
	if(f[x]!=x) f[x]=find(f[x]);
	return f[x];
}

bool cmp(node q,node w) {
	return q.c

啊，下面来一些难题。

4.滑雪与时间娇娘胶囊

传送门
题目描述
a180285 非常喜欢滑雪。
他来到一座雪山，这里分布着$M$条供滑行的轨道和$N$个轨道之间的交点（同时也是景点），而且每个景点都有一编号$i$和一高度$H_i$。a180285能从景点$i$滑到景点$j$当且仅当存在一条$i$和$j$之间的边，且$i$的高度不小于$j$。
与其他滑雪爱好者不同， a1神奇的药物是可以连续食用的，即能够回到较长时间之前到过的景点（比如上上个经过的景点和上上上个经过的景点）。
现在， a180285 站在$1$号景点望着山下的目标，心潮澎湃。他十分想知道在不考虑时间胶囊消耗的情况下，以最短滑行距离滑到尽量多的景点的方案（即满足经过景点数最大的前提下使得滑行总距离最小）。你能帮他求出最短距离和景点数吗？
输入格式
输入的第一行是两个整数$N$,$M$。
接下来$1$行有$N$个整数$H_i$，分别表示每个景点的高度。
接下来$M$行，表示各个景点之间轨道分布的情况。每行$3$个整数,$U_i$,$V_i$ ,$K_i$。表示编号为$U_i$的景点和编号为$V_i$的景点之间有一条长度为$K_i$的轨道。

输出格式
输出一行，表示 a180285 最多能到达多少个景点，以及此时最短的滑行距离总和。

样例输入                         样例输出														
3 3								3 2
3 2 1
1 2 1
2 3 1
1 3 10

数据范围与提示
【数据规模】
对于$30\%<=N<=2000$
对于$100\%$的数据，保证 $1<=N<=10^5$
对于所有的数据，保证 $1<=M<=10^6,1<=H_i<=10^9,1<=K_i<=10^9$。

思路

由于这个题涉及到地图的高矮问题，所以说，这个题是一个有向图(方向由低到高)，题目要求在到达景点最多的情况下，求最小的滑行距离，那么，为了求到我们所有的题目所需要的点。接下来我们就选择边，因为要考虑点的高度。因此，我们要按终点高度从大到小排序一次。

因为数据太大，我们就要开$longlong$。

代码

#include 
using namespace std;
struct lx{
	int u,v,w;
}b[2000005];
int n,m,h[100005],cnt,book,fa[100005];
vector a[100005];
bool vis[100005];

void dfs(int t) {
	if(vis[t]) return ;
	book++;
	vis[t]=1;
	for(int j=0;j<=a[t].size();j++) {
		b[++cnt].u=t,b[cnt].v-=a[t][j].to,b[cnt].w-=a[t][j].zhi;
		dfs(-a[t][j].to);
	}
	return ;
}

int find(int x) {
	if(fa[x]==x) return fa[x]=find(fa[x]);
	return fa[x];
}

bool cmp(lx x,lx y) {
	if(h[x.v]==h[y.v]) return h[x.v]>h[y.v];
	return x.w

Star Way To Heaven

题目描述
小$w$伤心的走上了Star way to heaven。
到天堂的道路是一个笛卡尔坐标系上一个$n\ast m$的长方形通道$($顶点在$(0,0)$和$(n,m)$$)$
每个$Star$以及长方形上下两个边缘$($宇宙的边界$)$都有引力，所以为了成功到达$heaven$小$w$离他们越点的路径上，距离所有星星以及边界的最小距离最大值可以为多少？

输入格式
一行三个整数$n,m,k$。
接下来$k$行，每行两个整数$x_i,y_i$表示一个点的坐标。

输出格式
一行一个数表示答案。保留到小数点后9位。

样例输入                         样例输出														
10 5 2							1.118033989
1 1
2 3

数据范围与提示
对于 100% 的数据：$k$≤ 6000；$n,m$≤$10^6$

思路

啊，我们一看题，毫无疑问，直接二分。
详细一点：
首先二分最后答案，答案即为r，可看作以每个k为圆心r为半径的圆
我们进行并查集维护，维护相交的圆的边界
最后判断是否存在圆将上下边界覆盖。

啊，如我所料，$TLE$了，只有80分。

开始是很难看出这是最小生成树。
对于最小生成树有几个性质：
1.最小生成树包含两点之间路径的最小边
2.最小生成树生成的边和最小
对于此题，我们尽量选边权小的边，构成最小生成树，

选出从上边界到下边界的最大边权，除二既是答案
最小生成树保证了选出这个边后，其他圆只会离他更远，所以正确

代码

#include 
using namespace std;
int n,m;
struct node{
	double x,y;
}a[30005];
double dist[30005],ans=0;
bool vis[6005];

double yu(node a,node b) { return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y)); }

void prim() {
	for(int i=1;i

Tree

题目描述
给你一个无向成树。题目保证有解。

输入格式
第一行$V$行，每行$s,t,c,col$表示这边的端点（点从$0$开始标号），边权，颜色（$0$白色，$1$黑色）。

输出格式
一行表示所求生成树的边权和。

样例输入                         样例输出														
2 2 1							2
0 1 1 1
0 1 2 0

数据范围与提示
对于所有数据，$V<=5\ast 10^4,E<=10^5$,边权为$[1,100]$中的正整数。

思路

思路

#include 
using namespace std;
int n,m,need,u[100005],v[100005],w[100005],ans,cnt,fa[100005],tot;
bool l[100005];
struct node{
	int u,v,w;
	bool type;
}a[100005];

bool cmp(node x,node y) { return x.w!=y.w?(x.type=need) return 1;
	return 0;
}

int main() {
	scanf("%d %d %d",&n,&m,&need);
	for(int i=1;i>1;
		if(check(mid)) left=mid,ans=tot-mid*need;
		else right=mid-1;
	}
	printf("%8d",ans);
	return 0;
}