傅里叶变换（下）

在上一篇中，我写到了傅里叶变换的来历以及直观的理解。关于傅里叶变换就只剩下它的性质，以及拉普拉斯变换和 Z-变换两个部分需要介绍了。在这一篇中就来完成这个任务。

下面列出来一系列傅里叶变换的性质。其实这些性质只要理解了就行了，就不需要一一推导了。

傅里叶变换的性质

不过，有一条需要特别注意的，就是最后一行——两个信号的卷积的傅里叶变换等于这两个信号的傅里叶变换的积。

这图像处理中有一种很常见的算法就是基于这条性质的。当我们需要做两个图像的卷积时，就可以先对两个图片分别做傅里叶变换，然后将得到的结果相乘，再做傅里叶 反变换，就得到了两幅图片的卷积。

做个卷积为何要如此麻烦？因为对于傅里叶变换（反变换也同理），我们有 FFT（快速傅里叶变换）的算法啊！这样比起直接做卷积运算，可以大大降低算法的复杂度。

不过，我们在做滤波的时候通常不用这种方法，而是直接做卷积。这又是为什么呢？因为在滤波的时候，卷积核的规模通常都非常小，所以直接计算卷积反而会比较节省计算量。

还记得我们引入卷积的概念的公式吗？

卷积公式

我们记单位冲激响应 h(t) 的傅里叶变换为 H(omega)，即

根据上一条的性质，则有

我们称 H(omega) 为传递函数。而这条公式也阐明了滤波器的物理意义，即对 X(omega) 的每一个频率的波形进行调制。

到这里傅里叶变换的相关内容就结束了。下面来介绍一下拉普拉斯变换。

我们知道傅里叶变换的定义是这样的

这样写出来有一个条件，那就是输入信号 x(t) 在负无穷到正无穷上是可积的，也就是说 x(t) 必须是收敛的。如果 x(t) 不收敛，那我们就无法对其进行傅里叶变换了。

于是，大佬们就提出了拉普拉斯变换：

拉普拉斯变换

它和傅里叶变换的区别就是，给原信号乘了一个 e 的负指数幂，以此来保证它的收敛。二者有如下关系：

我们可以把拉普拉斯变换写成这个样子：

因此，拉普拉斯变换用如下坐标系表示：

拉普拉斯变换坐标系

可以看出，图像在两条黑色坐标轴组成的截面上的图像，就是原信号的傅里叶变换。

Z-变换从形式上来看就是拉普拉斯变换的离散形式。

Z-变换

但是，它和拉普拉斯变换在 坐标表示 方面又有所不同。因为，我们通常把 Z-变换写成如下形式，

我们用极坐标来表示 Z-变换，坐标轴的形式如下图

Z-变换坐标系

单位圆围成的柱面上的图像，就是原信号的傅里叶变换。

终于写完了，有种填了大坑的感觉……

撒花！✿✿ヽ(°▽°)ノ✿