深入理解计算机系统之整型与浮点型

在计算机储存系统里面，算术类型可以分为两类：整型(intergral type，包括字符和布尔类型在内)和浮点型。在看简单地看了深入理解计算机系统的第二章后，有了稍微深刻但是有非常浅显的理解，然后又看了阮师兄的一篇博文，所以做了一点笔记。

下面先来看一个例子程序：

#include 
　　void main(void){
　　　　int num=9; /* num是整型变量，设为9 */
　　　　float* pFloat=# /* pFloat表示num的内存地址，但是设为浮点数 */
　　　　printf("num的值为：%d\n",num); /* 显示num的整型值 */
　　　　printf("*pFloat的值为：%f\n",*pFloat); /* 显示num的浮点值 */
　　　　*pFloat=9.0; /* 将num的值改为浮点数 */
　　　　printf("num的值为：%d\n",num); /* 显示num的整型值 */
　　　　printf("*pFloat的值为：%f\n",*pFloat); /* 显示num的浮点值 */
　　}

运行结果如下：

num的值为：9
*pFloat的值为：0.000000
num的值为：1091567616
*pFloat的值为：9.000000

这个例子是一个吧整数数值换成浮点形式的经典例子，理解了这个例子，可以让我们对整型和浮点型的储存方式都有一个更深刻的理解。

在讨论浮点数之前，先看一下整数在计算机内部是怎样表示的：

int num=9;

上面这条命令，声明了一个整数变量，类型为int(默认为signed，有符号的)，值为9（二进制写法为1001）。在普通的用4个字节表示int变量。所以9就被保存为00000000 00000000 00000000 00001001。如果要储存一个有符号的整型，我们一般采用补码编码的形式。在这个定义中，将字的最高有效位解释为负权, 最高有效位也成为符号位。也就是说，如果符号位是0，则这是一个非负数(包括0)，如果符号位是1，则这是一个负数。

3.直到20世纪80年代，每个计算机制造商都设计了自己的表示浮点数的规则，但这是对应用程序可移植性的巨大挑战，所以制定了国际标准IEEE 754，任意一个二进制浮点数V可以表示成下面的形式：

#V=(−1)S∗M∗2E(-1)^S*M*2^E(−1)S∗M∗2E
(1）(-1)^s表示符号位(术语：符号)，当s=0，V为正数；当s=1，V为负数。
（2）M(位数)表示有效数字，大于等于1，小于2。
（3）2^E表示指数位，E叫阶码

举例来说，十进制的5.0，写成二进制是101.0，相当于1.01×2^2。那么，按照上面V的格式，可以得出s=0，M=1.01，E=2。

十进制的-5.0，写成二进制是-101.0，相当于-1.01×2^2。那么，s=1，M=1.01，E=2。

IEEE 754规定，对于32位的浮点数，最高的1位是符号位s，接着的8位是指数E，剩下的23位为有效数字M：

对于64位的浮点数，最高的1位是符号位S，接着的11位是指数E，剩下的52位为有效数字M：

IEEE 754对有效数字M和指数E，还有一些特别规定。
前面说过，1≤M<2，也就是说，M可以写成1.xxxxxx的形式，其中xxxxxx表示小数部分。IEEE 754规定，在计算机内部保存M时，默认这个数的第一位总是1，因此可以被舍去，只保存后面的xxxxxx部分。比如保存1.01的时候，只保存01，等到读取的时候，再把第一位的1加上去。这样做的目的，是节省1位有效数字。以32位浮点数为例，留给M只有23位，将第一位的1舍去以后，等于可以保存24位有效数字。
至于指数E，情况就比较复杂。
首先，E为一个无符号整数（unsigned int）。这意味着，如果E为8位，它的取值范围为0_{255；如果E为11位，它的取值范围为0}2047。但是，我们知道，科学计数法中的E是可以出现负数的，所以IEEE 754规定，E的真实值必须再减去一个中间数(偏置)，才会得到我们科学计数法中的E。对于8位的E，这个中间数是127；对于11位的E，这个中间数是1023。
比如，2^10的E是10，所以保存成32位浮点数时，必须保存成10+127=137，即10001001。
然后，指数E还可以再分成三种情况：
（1）E不全为0或不全为1。这时，浮点数就采用上面的规则表示，即指数E的计算值减去127（或1023），得到真实值，再将有效数字M前加上第一位的1。
（2）E全为0。这时，浮点数的指数E等于1-127（或者1-1023），有效数字M不再加上第一位的1，而是还原为0.xxxxxx的小数。这样做是为了表示±0，以及接近于0的很小的数字。
（3）E全为1。这时，如果有效数字M全为0，表示±无穷大（正负取决于符号位s）；如果有效数字M不全为0，表示这个数不是一个数（NaN）。

好了，关于浮点数的表示规则，就说到这里。
下面，让我们回到一开始的问题：
首先，将0x00000009拆分，得到第一位符号位s=0，后面8位的指数E=00000000，最后23位的有效数字M=000 0000 0000 0000 0000 1001。
由于指数E全为0，所以符合上一节的第二种情况。因此，浮点数V就写成：
　　V=(-1)^{0×0.00000000000000000001001×2}(-126)=1.001×2^(-146)
显然，V是一个很小的接近于0的正数，所以用十进制小数表示就是0.000000。

再看例题的第二部分：
请问浮点数9.0，如何用二进制表示？还原成十进制又是多少？
首先，浮点数9.0等于二进制的1001.0，即1.001×2^3。
那么，第一位的符号位s=0，有效数字M等于001后面再加20个0，凑满23位，指数E等于3+127=130，即10000010。
所以，写成二进制形式，应该是s+E+M，即0 10000010 001 0000 0000 0000 0000 0000。这个32位的二进制数，还原成十进制，正是1091567616。

在理解了单精度和双精度制度之后，我又产生了一个疑问。 那就是c语言的printf输出浮点数的一些问题，就是当printf打印*pFloat时为什么会显示小数点后六位，这里貌似牵涉到计算机系统的堆栈问题，后面再慢慢梳理。