【TSOJ课程】31 1569 车轮轴迹

课程29_31 1569 车轮轴迹

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题目：

题目描述

老李每天骑自行车回家需要经过一条狭长的林荫道。道路由于年久失修，变得非常不平整。虽然每次都很颠簸，但他仍把骑车经过林荫道当成一种乐趣。
由于颠簸，骑车回家的路径是一条上下起伏的曲线，老李想知道，他回家的这条曲线的长度究竟是多长呢？更准确的，老李想知道从林荫道的起点到林荫道的终点，他的车前轮的轴（圆心）经过的路径的长度。老李对路面进行了测量。他把道路简化成一条条长短不等的直线段，这些直线段首尾相连，且位于同一平面内。并在该平面内建立了一个直角坐标系，把所有线段的端点坐标都计算好。假设老李的自行车在行进的过程中前轮一直是贴着路面前进的。

上图给出了一个简单的路面的例子，其中蓝色实线为路面，红色虚线为车轮轴经过的路径。在这个例子中，老李的前轮轴从A点出发，水平走到B点，然后绕着 地面的F点到C点（绕出一个圆弧），再沿直线下坡到D点，最后水平走到E点，在这个图中地面的坐标依次为：(0, 0), (2, 0), (4, -1), (6, -1)，前轮半径为1.50，前轮轴前进的距离依次为：
AB=2.0000；弧长BC=0.6955；CD=1.8820；DE=1.6459。总长度为6.2233。
下图给出了一个较为复杂的路面的例子，在这个例子中，车轮在第一个下坡还没下完时（D点）就开始上坡了，之后在坡的顶点要从E绕一个较大的圆弧到F点。这个图中前轮的半径为1，每一段的长度依次为：AB=3.0000；弧长BC=0.9828；CD=1.1913；DE=2.6848；弧长EF=2.6224； FG=2.4415；GH=2.2792。
总长度为15.2021。

现在给出了车轮的半径和路面的描述，请求出车轮轴轨迹的总长度。

输入描述

输入的第一行包含一个整数n和一个实数r，用一个空格分隔，表示描述路面的坐标点数和车轮的半径。接下来n行，每个包含两个实数，其中第i行的两个实数x[i], y[i]表示描述路面的第i个点的坐标。路面定义为所有路面坐标点顺次连接起来的折线。给定的路面的一定满足以下性质：
*第一个坐标点一定是(0, 0)；
*第一个点和第二个点的纵坐标相同；
*倒数第一个点和倒数第二个点的纵坐标相同；
*第一个点和第二个点的距离不少于车轮半径；
*倒数第一个点和倒数第二个点的的距离不少于车轮半径；
*后一个坐标点的横坐标大于前一个坐标点的横坐标，即对于所有的i，x[i+1]>x[i]。

输出描述

输出一个实数，四舍五入保留两个小数，表示车轮轴经过的总长度。你的结果必须和参考答案一模一样才能得分。数据保证答案精确值的小数点后第三位不是4或5。

样例输入

4 1.50
0.00 0.00
2.00 0.00
4.00 -1.00
6.00 -1.00
以上对应于第一幅图

6 1.00
0.00 0.00
3.00 0.00
5.00 -3.00
6.00 2.00
7.00 -1.00
10.00 -1.00
以上样例对应于第二幅图

样例输出

6.22
15.20

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解析：

第一道把我做哭的题目……

从上星期五晚自习开始做，一直做了整整五天都没做出来，一直在错。做到后面越做越委屈最后哭了起来……

我以后再也不想见到这种题目了！！

言归正传，哭可以哭，但是题还是得做。我们先看题。首先这是一道生活模拟的题目，题目大概可以理解成这样：一个圆在一系列线段上向前滚动，它的圆心运动的路程是多少？

刚开始，我相信大家的想法就是：模拟这个过程。题目给出了两种特殊情况，第一种是“凸出来”的节点，在这种节点上，轮子会绕转，直到落地。计算方法很简单，就是计算那个圆弧的长度；第二种则是“凹下去”的节点，这种节点轮子会“卡”在中间，也就是说他不会走到线段的末端，而是在这之前就先碰到另外一块地了。

那么按照模拟法，我们只需要先计算所有线段的长度，然后加上“凸出来”的节点的圆弧长度，再减去“凹下去”节点损失的长度就可以了。

然而真的会这么简单吗？

坑爹情况

这么难的题目，我自然不可能完全靠自己写出来，毕竟这道题出自蓝桥杯的压轴难题……所以我请教了很多大佬，甚至参考了部分代码才写出正确答案。我在查阅了蓝桥杯的题目版本后，发现在题目最后有这样一个小提示：

锦囊2：对于每个点画一个圆，每条线画一条平行线，然后求外轮廓的长度

很显然，这个提示已经告诉你怎么做这道题了。但是这种方法无论从复杂度还是直接程度上都不如模拟法，这说明模拟法肯定更加复杂。

究竟哪里复杂呢？请看图：

图中的圆表示车轮在A点处旋转时的轨迹。按照正常的理解，车轮的圆心应该从最左边的绿线开始，运动到与下一个地面相切的时候（红线）停止。

但是实际上车轮运动到第二条绿线的位置就不再运动了，因为它先落在了水平的那条路上。图中紫色的线是下面那条路的平行线，它们形成一个交点，这个交点是圆心接触地面一瞬间所在的位置。

也就是说：车轮在绕某个点旋转的过程中，可能会出现没有接触到下一条路，而是直接碰到下下条路的情况。在这种情况下，就有线段被“跳过”了，我们根本不用去计算这条路。

这还没完，因为它不仅可以“跳过”一条路，还可以同时跳过两条路，三条路，甚至还能刚好落在两条路交界的位置，让你的算法彻底崩溃。

所以模拟法反而更复杂了，而只考虑运动轨迹反而更简单。

运动轨迹法

运动轨迹法的核心就是：对每条线段都作一个平行线段，对每个点（除了起点和终点）都作一个圆。然后计算他们靠上的一部分的长度。

什么叫靠上的一部分呢？举个例子：

如图，上面那个是我们说的坑爹情况，我们对两个节点作圆，然后画出每条线的平行线段，最后选取最上面的一部分（黑色部分），这个黑色的线段长度就是我们要求的长度。下面那张图也是一样的，取最上面的那一部分，计算出来的长度就是结果。

来梳理一下做法：

首先读取所有的点
对n个点，创建出n-1条线，然后每条线都向右上/左上移动一定距离，使得这个线段是原来线段的平行线段，距离是题目所给出的“半径”
对n个点，以它们为圆心，半径为题目所给的“半径”，作n-2个圆。
让这些线和圆、线和线、圆和圆一一配对，计算交点。这些交点就是外轮廓线的“转折点”。
然后把这些转折点排序，从前往后计算轮廓线长度。

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解题：

代码很长，248行。

首先我们需要做3个类，分别是Point、Line、Circle。这里使用类而不是结构体的原因是……需要的属性和方法太多了，用类管理起来更加合理。

我们注意到，在我们的算法里，我们需要把这些线、圆一一配对计算交点，那么如果把他们分开储存，配对起来就会有些麻烦。好的方法是把这些线和圆存在一个数组里，这样我们只需要对这个数组做金字塔形遍历（for(i=0 to LEN) for(j=i+1 to LEN)共C(2,N)次）就可以了。

我们使用vector来做存储这些线和圆的容器（vector可以视为是一个可变化长度的数组 具体的特性大家可以百度）。但是线和圆是两个不同的类，很明显是无法混合着存储在一个vector里的。这里我们要用一个混合类存储的方法：那就是让Line和Circle继承自同一个父类，然后把vector的存储类型设置为这个父类，那么父类的所有子类自然也可以存储进这个vector之中。

但是特别特别要注意的是，虽然存储进去的是我们的子类，但如果你对某个成员进行了操作（如调用了它的方法），实际上被调用的是父类的方法而非子类的方法，如果父类没有这个方法，就会抛出错误。

所以我们需要在父类里声明好可能被调用的几个方法，把他们设为虚函数，然后再在子类里实现，这样调用vector里某个元素的某个方法的时候，就不会抛出错误了。

接下来还要注意的是我们的重头戏：计算长度部分的代码。

首先我们读取了所有的点，并且创建好线和圆以后，我们先把所有的线和圆的左、右端点横坐标存入一个vector数组里。这个数组里存储的应该是我们外轮廓线所有的“转折点”，那么线段和圆的左右端点自然就是转折点的一部分。

接着，我们需要对线和圆进行一一配对，计算出他们的交点的横坐标，把他也存入那个vector数组里。这些交点当然也是外轮廓线上的“转折点”。

然后我们对这个vector数组进行排序，让这些转折点从小到大排列。

最后我们对这些转折点进行计算，计算外轮廓线的长度。计算方法很简单，两个转折点就决定了一段轮廓，如何判断这个轮廓的形状呢？首先计算这两个转折点的中点横坐标，然后找到这个位置所有图形最上面的那个，就是这个轮廓的形状了，接着对这个轮廓求长即可。

如果没听懂看图：

最后还有一个大佬告诉我的要点……要加一个什么迭代精度，我写在代码里了，如果不加那句会导致有一个数据有0.03左右的误差，导致WA。希望有大神能告诉我为什么。

因为抄袭的人开始变多了，此题代码采用一种全新的方式给出。

源代码：1569车轴轨迹

上面的链接里一共有4道题目，全部答对就可以看到代码。这四道题都非常简单，答案就在我的题解里。

网页里的代码是加密过的，如果你有闲情逸致破译我的加密，或者穷举256种选择方案，不如把题解看一遍。

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优化

这个代码还能优化！

我们在模拟法里引出了一个概念：凹凸节点。这个概念可以描述这个节点相对它的两个相邻节点的位置情况。并且我们知道只有凸节点会被车轮触碰到，而凹节点永远不会，因为凹节点的角度永远小于180°，这个角度圆形是进不来的。

所以对于所有的凹节点都不需要画圆了，因为这个圆必定不参与计算。那么圆的数量平均会少掉1/2。

因为我们求交点的遍历是金字塔型遍历，会运行C(2,N)次，也就是N个里选2个。组合数的N下降所带来的下降还是比较显著的。

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后记

这道题实在是太难了……全网没有一个题解。

这部分的代码虽然都是我一个字一个字写的，但是思路和架构却是我问大佬/翻代码才理解的。以前我们有个开玩笑的词叫“面向搜索引擎编程”，但是我对题解、样例代码的态度是，只要你理解是怎么做的，并且不看样例代码和题解能自己做出来，并且有自己的思考，这就足够了。这也是我写这么多题解的意义所在。

这可能是本题的第一个题解，有很多漏洞，也希望大家能指出。