HDU 6432 Problem G. Cyclic（容斥原理）

Description

求 0 0 ~ n−1 n − 1 的圆环排列中不存在连续两个位置为 i,(i+1)%n i , ( i + 1 ) % n 的方案数

Input

第一行一整数 T T 表示用例组数，每组用例输入一整数 n n (1≤T≤20,1≤n≤105) ( 1 ≤ T ≤ 20 , 1 ≤ n ≤ 10 5 )

Output

输出方案数，结果模 998244353 998244353

Sample Input

3
4
5
6

Sample Output

1
8
36

Solution

容斥原理，至少包含一个不合法子串的排列有 C1n⋅(n−2)! C n 1 ⋅ ( n − 2 ) ! ，而对于至少包含两个不合法子串的排列，选出两个子串的第一个位置的值 i<j i < j 的方案数为 C2n C n 2 ，若 j=(i+1)%n j = ( i + 1 ) % n ，那么 i,j,(j+1)%n i , j , ( j + 1 ) % n 要占连续的三个位置，剩下 n−3 n − 3 个数字随便排，方案数 (n−3)! ( n − 3 ) ! ，若 j≠(i+1)%n j ≠ ( i + 1 ) % n ，那么 j j 只能从除了 i i 以及其前后的两个位置之外的 n−3 n − 3 个位置中选一个，剩下 n−4 n − 4 个元素随便排，方案数 (n−3)⋅(n−4)!=(n−3)! ( n − 3 ) ⋅ ( n − 4 ) ! = ( n − 3 ) ! ，故至少包含两个不合法子串的排列为 C2n⋅(n−3)! C n 2 ⋅ ( n − 3 ) ! ，数学归纳法可证至少包含 k k 个不合法子串的排列有 Ckn⋅(n−k−1)!,0≤k≤n−1 C n k ⋅ ( n − k − 1 ) ! , 0 ≤ k ≤ n − 1 ，而包含 n n 个不合法子串的排列只有 0,1,...,n−1 0 , 1 , . . . , n − 1 这一种，故有容斥原理，不包含不合法子串的排列数为

(−1)n+∑k=0n−1(−1)k⋅Ckn⋅(n−k−1)! ( − 1 ) n + ∑ k = 0 n − 1 ( − 1 ) k ⋅ C n k ⋅ ( n − k − 1 ) !

Code

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
#define maxn 100005
#define mod 998244353
int mul(int x,int y)
{
    ll z=1ll*x*y;
    return z-z/mod*mod;
}
int add(int x,int y)
{
    x+=y;
    if(x>=mod)x-=mod;
    return x;
}
int fact[maxn],inv[maxn];
void init(int n=1e5)
{
    fact[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)fact[i]=mul(fact[i-1],i);
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
    inv[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)inv[i]=mul(inv[i-1],inv[i]);
}
int C(int n,int m)
{
    if(m<0||m>n)return 0;
    return mul(fact[n],mul(inv[m],inv[n-m]));
}
int T,n,a[maxn];
int main()
{
    init();
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        int ans=n&1?mod-1:1;
        for(int k=0;kif(k&1)ans=add(ans,mod-mul(C(n,k),fact[n-k-1]));
            else ans=add(ans,mul(C(n,k),fact[n-k-1]));
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}