vijos1488 路灯改建计划（重庆一中高2018级信息学竞赛测验9） 解题报告

【问题描述】  
  
　　在华师一的敏行路上，新建了若干漂亮的路灯，这给同学们晚上的出行带来很大的方便。但是，问题随之出现了。


　　一天晚上，OI组的FHH 同学正往校门外走，忽然眼前一片漆黑，于是直接把眼镜都摔掉了，再也找不到。后来FHH 同学从学校管理处了解到昨晚路灯突然熄灭是因为电路不堪重负，导致空气开关跳闸。


　　善于思考的FHH 同学考虑将路灯进行改建，以避免再次出现类似的问题。FHH同学仔细了解每盏路灯的耗电量a[i]与照明度z[i]，已知共有 N 盏电灯，并且每盏电灯都可能有不同的耗电量与照明度，现在的问题是要把这 N 盏电灯分为 M 组，新分出的每组灯的耗电量（即是该组所有打开电灯的耗电量之和）不能超过该组的电灯数目的 T 倍，在满足这样的前提下使得照明度尽可能的大，最后算出 M 组的最大照明度的和。由于每组耗电量的限制，该组中的某些电灯可能不被使用，但是仍然应该算作该组灯的数目。特别注意的是电灯按顺序给出，只能把相邻的几盏灯分在一组。


　　由于计算较为复杂，FHH 同学经过反复的计算仍然不能确定结果，现在就请你为他编写一个程序来解决这个问题。 
 
    
 【输入格式】  
  
　　第一行3个整数，分别表示N、M 和 T。
　　接下来的N行，每行两个整数，第i+1行表示a[i]和z[i]。


 
    
 【输出格式】  
   
　　一个整数，表示最大照明度。
 
    
 【输入样例】   
   
5 2 2
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5


 
    
 【输出样例】  
   
10
 
    
 【数据范围】  
   
　　对于70％的数据，保证有：2<=N<=80，1<=M<=35，1<=T，a[i]，z[i]<=35；
　　对于全部的数据，保证有：2<=N<=160，1<=M<=50，1<=T，a[i]，z[i]<=50。

做题思路（70分解法）：根据题意，要将N盏电灯分为M组，并且每组中的电灯可以开，可以不开，这显然是分组背包问题，主要算法自然是动态规划，但需要注意分组背包问题的需要两次动态规划，分别是求组权值，即求每组中的电灯选择一些打开，在满足条件的情况下的最大照明度的和，和求将电灯分组时的最大照明度的和。

对于第一次动态规划，设状态函数f(i,j)表示前i个电灯选择一些，耗电量为j时的最大照明度的和，分析第i个电灯时，它可以开，可以不开，所以状态转移方程为f(i,j)=max{f(i-1,j),f(i-1,j-a[i])+z[i]} ，边界条件是f(0,0)=0。为了优化程序，可以先计算出组权值g[i][j]，表示将第i个电灯到第j个电灯放在一组时满足条件的最大照明度的和，在第二次动态规划时，可以直接引用。对于最简单的计算组权值，就可以直接枚举第x个电灯到第y个电灯，每枚举一次，进行一次动态规划。

对于第二次动态规划，设状态函数f(i,j)表示前i个电灯，分为j组时满足条件的最大照明度的和，分析第j组时，最少要有1个电灯，最多只能有i-j+1个电灯（为了保证前j-1组，至少每组有1个电灯），所以状态转移方程为f(i,j)=max{f(i-x,j-1)+g[i-x+1][i] | 1<=x<=i-j+1} ，边界条件是f(0,0)=0。答案即为f(N,M)。

但这种做法在计算组权值时，本来已经要枚举从第x个路灯到第y个路灯了，在进行动态规划时又有两重循环，时间复杂度为O(N^4*M)。

解题思路（正解）：由于直接枚举计算组权值时有四重循环，会导致超时，所以要考虑是否可以减少一重循环，或者将一重循环移在枚举进行动态规划外面来进行优化。因为第一次动态规划的状态函数里限制了前i个电灯和耗电量为j，所以其实在计算组权值时枚举的到第y个路灯的这一重循环，可以移在枚举进行动态规划的外面来，只需枚举起始的路灯编号x，在进行动态规划后，g[x][y]=f(y,T*(y-x+1))（注：这里的状态函数f(i,j)的i是从x开始枚举的，意义与之前的状态函数有所不同，但状态转移方程依然一样）。这样计算组权值的话，时间复杂度就优化为O(N^3*M)。

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn=165;
const int inf=1000000010;
int N,M,T;
int a[maxn],z[maxn];
int g[maxn][maxn]; //g[i][j]表示将第i个电灯到第j个电灯放在一组时满足条件的最大照明度的和，即组权值
/*
f(i,j)表示从第x个路灯到第i个电灯选择一些，耗电量为j时的最大照明度的和
f(i,j)=max{f(i-1,j),f(i-1,j-a[i])+z[i]} 
边界：f(0,0)=0 
*/ 
int f[maxn][maxn*52]; 
int ready(int x)  //第一次动态规划
{
	memset(f,0,sizeof(f));
	for(int i=x;i<=N;i++)
	for(int j=0;j<=T*(N-x+1);j++)
	{
		int t1=f[i-1][j],t2=0;
		if(j-a[i]>=0)  t2=f[i-1][j-a[i]]+z[i];
		f[i][j]=max(t1,t2);
	}
}
/*
f(i,j)表示前i个电灯，分为j组时满足条件的最大照明度的和
f(i,j)=max{f(i-x,j-1)+g[i-x+1][i] | 1<=x<=i-j+1} 
边界：f(0,0)=0 
*/
int d[maxn][55];
void solve()  //第二次动态规划
{
	for(int i=0;i<=N;i++)
	for(int j=0;j<=M;j++)
	d[i][j]=-inf;
	d[0][0]=0;
	for(int i=1;i<=N;i++)
	for(int j=1;j<=M;j++)
	{
		int t=-inf;
		for(int x=1;x<=i-j+1;x++)
		t=max(d[i-x][j-1]+g[i-x+1][i],t);
		d[i][j]=t;
	}
	printf("%d\n",d[N][M]);
}
int main()
{
	//freopen("light.in","r",stdin);
	//freopen("light.out","w",stdout);
	scanf("%d%d%d",&N,&M,&T);
	for(int i=1;i<=N;i++)
	scanf("%d%d",&a[i],&z[i]);
	for(int i=1;i<=N;i++)
	{
		ready(i);
		for(int j=i;j<=N;j++)
		g[i][j]=f[j][T*(j-i+1)];  //计算组权值
	}
	solve();
	return 0;
}

考后反思：对于程序的时间优化还是要加强练习，在考试的时候总是不能准确地找到程序的时间优化方法。