Chomp!游戏

这是什么游戏呢？举个例子先。
有一个n*m的棋盘，每次可以取走一个方格并拿掉它右边和上面的所有方格。拿到左下角的格子(1,1)者输。那么谁会赢呢？
乍一看不太好解。其实答案很简单，除了n=m=1的情况，先手总能赢。
下面我们用反证法证明。
若后手能赢，则后手一定有必胜策略，也就是说后手取走了某个方格后先手必败。而事实上如果这个方格存在，先手完全可以先取走，那么后手必败，与假设矛盾。所以后手必败。注意这只是针对n*m>1的情况，如果n=m=1则先手必败，因为先手只能取那唯一的格子。
下面再举个例子。
有n张纸片摆在你面前，第i张纸片上写着数字i。每次可以取走一张纸片和数字是该纸片因数的纸片。问谁会赢？
和上面的例子差不多，只要n不为1，总是先手赢。
然后还有一个稍微难些的例子。
现在有一棵含n个节点的有根树，根节点是1，每个点初始时都是白色。每次可以把任意一个白色节点到根节点经过的所有的点（包括该节点）变成黑色。谁最后把整棵树染黑了，谁就输了。
不难看出，只要n不为1，还是先手赢。若后手选择一个节点后必胜，那先手完全可以“先下手为强”，则先手胜利。发现了吗？其实这棵树长什么样根本不用管，只要判断n就可以了。