数据结构之字典树的分析与实现

字典树

字典树的结构

Trie树，即字典树，又称单词查找树、前缀树、键树，是一种树形结构，其典型的应用是用于统计和排序大量的字符串。

字典树的节点结构具有以下两个字段：

• 最多R个指向子节点的链接Trie[] next，其中每个链接对应字母表数据集中的一个字母；我们可以假设都为小写字符，可以取R=26；
• 一个布尔类型isEnd，用来标志当前节点是对应键的结尾（字符串的结尾）还是只是键前缀（字符串的一个前缀）。

字典树具有如下的3个基本性质：

• 根节点不包含字符，除根节点外每一个节点都只包含一个字符；
• 从根节点到某一节点，路径上经过的字符连接起来，为该节点对应的字符串；
• 每个节点的所有子节点包含的字符都不相同。

比如sher在字典树中的表示为：

对于字典树，其常用的操作为插入和查找，较少进行删除操作，其中查找又分为查找键（字符串）和查找键（字符串）前缀。

字典树的实现

力扣的108题即为实现字典树，主要是要实现上面提到的字典树的三个常用操作，即：

• 向字典树中插入一个键：从根开始搜索它对应于第一个键字符的链接，会出现两种情况：

  • 链接存在。沿着链接移动到树的下一个子层，继续搜索下一个键字符；
  • 链接不存在。创建一个新的节点，并将它与父节点的链接相连，该链接与当前的键字符相匹配，新创建的节点即包含该键字符。

  重复以上步骤，直到到达键的最后一个字符，然后将当前节点标记为结束节点即isEnd = true，算法完成。

• 在字典树中查找键：每个键在trie中表示为从根到内部节点或叶的路径。用第一个键字符从根开始，检查当前节点中与键字符对应的链接。有两种情况：

  • 存在链接。移动到该链接后面路径中的下一个节点，并继续搜索下一个键字符;
  • 不存在链接。若已无键字符，且当前结点标记为 isEnd = true，则返回 true。否则返回 false （可能还有键字符剩余，但无法跟随Trie树的键路径，即找不到键；也可能没有键字符剩余，但当前节点标记为isEnd = false，这时要查找的键只是另一个键的前缀）。

• 在字典树中查找键的前缀：与查找键几乎一样，唯一的区别是，到达键前缀的末尾时，总是返回 true，而不需再判断是否为另一个键的前缀。

class Trie {

    private boolean isEnd;
    private Trie[] next;
    private final int R = 26;

    /** Initialize your data structure here. */
    public Trie() {
        this.next = new Trie[R];
    }
    
    /** Inserts a word into the trie. */
    public void insert(String word) {
        Trie node = this;
        for (int i = 0; i < word.length(); i++) {
            char currChar = word.charAt(i);
            if (node.next[currChar - 'a'] == null) {
                node.next[currChar - 'a'] = new Trie();
            }
            node = node.next[currChar - 'a'];
        }
        node.isEnd = true;
    }
    
    /** Returns if the word is in the trie. */
    public boolean search(String word) {
        Trie node = this;
        for (int i = 0; i < word.length(); i++) {
            char currChar = word.charAt(i);
            if (node.next[currChar - 'a'] == null) {
                return false;
            }
            node = node.next[currChar - 'a'];
        }
        return node.isEnd;  
    }
    
    /** Returns if there is any word in the trie that starts with the given prefix. */
    public boolean startsWith(String prefix) {
        Trie node = this;
        for (int i = 0; i < prefix.length(); i++) {
            char currChar = prefix.charAt(i);
            if (node.next[currChar - 'a'] == null) {
                return false;
            }
            node = node.next[currChar - 'a'];
        }
        return true;
    }
}

字典树和其他数据结构的比较

其他数据结构，如平衡树和哈希表，也能够在字符串数据集中搜索单词。但是尽管哈希表可以在 O(1) 时间内寻找键值，却无法高效的完成以下操作：

• 找到具有同一前缀的全部键值；
• 按词典序枚举字符串的数据集。

哈希表还有另一个缺点，随着哈希表大小增加，会出现大量的冲突，时间复杂度可能增加到 O(n)，其中 n 是插入的键的数量。与哈希表相比，字典树在存储多个具有相同前缀的键时可以使用较少的空间。此时字典树树只需要O(m) 的时间复杂度，其中 m 为键长。而在平衡树中查找键值需要O(m·logn) 时间复杂度。