线性代数（4）矩阵转置、求逆、求秩

矩阵转置$A^T$

矩阵转置即将原矩阵的行变成列，原矩阵的列变成行
类比于R语言的转置函数t()的操作
示例1：
已知$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$,求$A^T$?
$A^T=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right)$
示例2：
已知$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\end{array}\right)$，则$A^T=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$，求$A^{T}A{A}^T$?
在涉及转置矩阵的乘法中，先用行乘列要比先用列乘行简单
原式
$$A^{T}A{A}^T$$
$$=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$
这里先计算$A\ast A^T$，
$$A\ast A^T=\ast \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$
$$=2$$
然后计算$A^T\ast 2$
$$=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)\ast 2=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 2\end{array}\right)$$

• 性质
  $$(AB{)}^T=B^T\ast A^T$$
  $$|A^T|=|A|$$

矩阵可逆

对于矩阵A,若满足以下条件则存在可逆矩阵
$\{\begin{array}{l}{A}_{mn},m=n\\ |A|̸=0orexistB:AB=EorBA=E\end{array}$
则称B是A的逆矩阵，A则是可逆矩阵。
例如$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$,首先该矩阵是22的方阵，$|A|=-2̸=0$，因此该矩阵存在可逆矩阵
已知方阵A满足$A^2-A-2E=0$，试求A是否可逆。
思路，A首先满足方阵的条件，但是这里无法求出A的行列式的值，因此，我们要构造AB=E的形式。
原式：
$$A^2-A-2E=0\Rightarrow A^2-A=2E\Rightarrow A^2-AE=2E\Rightarrow A(A-E)=2E\Rightarrow A\ast \frac{A-E}{2}=E$$
令$\frac{A-E}{2}=B$，则AB=E,也即存在矩阵B满足AB=E，因此该矩阵可逆。

求逆矩阵$A^{-1}$

已知矩阵$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$,求其逆矩阵$A^{-1}$?
步骤：在待求解矩阵的右边写上同维度的单位矩阵，然后进行相应转化，使得二者交换形式，即把左边的原矩阵转换成单位矩阵，而一起变换的右边的单位矩阵的结果就是原矩阵的逆矩阵
$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& ⋮1& 0\\ 3& 4& ⋮0& 1\end{array}\right)\text{r2-3r1}\left(\begin{array}{cccc}1& 2& ⋮1& 0\\ 0& -2& ⋮-3& 1\end{array}\right)\text{r2 * (-1/2)}$$
$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& ⋮1& 0\\ 0& 1& ⋮\frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)\text{r1-2r2}\left(\begin{array}{cccc}1& 0& ⋮-2& 1\\ 0& 1& ⋮\frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$
至此，右边的矩阵$\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$，就是原矩阵的逆矩阵

逆矩阵的性质

$$A\ast A^{-1}=E=A^{-1}\ast A$$
即矩阵乘其逆矩阵，或者逆矩阵乘其原矩阵都是单位矩阵E

伴随矩阵的性质

$$A{A}^{\ast }=|A|E=A^{\ast }A$$
$A^{\ast }$叫做矩阵A的伴随矩阵

矩阵的秩R(A)

对矩阵进行行变换，保证下一行的0比上一行多，直到全为0为止，最后看包含非0行的个数，有几行矩阵的秩就是多少
示例：
求$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$的秩R(A)?
原式：
$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)\text{r2-3r1}\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -2\end{array}\right)$$
因此，该矩阵的秩是2，即$R(A)=2$