数据结构与算法分析--Java语言描述（第二章（1））

习题2.8

假设需要生成前N个自然数的一个随机置换。例如，{4,1,2,5,2} 和 {3,1,4,2,5} 就是合法的置换，但 {5,4,1,2,1} 却不是，因为数1出现了两次而数 3 缺没有。这个程序常常用于模拟一些算法。我们假设存在一个随机数生成器 randInt(i, j) ，它以相同的概率生成 i 和 j 之间的一个整数。

下面是三个算法：

1.如下填入a[0]到a[N-1]的数组a;为了填入a[i],生成随机数直到它不同于已经生成的a[0],a[1], ... ,a[i-1]时,再将其填入a[i]。
2.同算法1,但是要保存一个附加的数组,称之为Used（用过的）数组。当一个随机ran最初被放入数组a的时候,置Used[ran]=1。这就是说，当用一个随机数填入 a[i] 时，可以用一步来测试是否该随机数已经被使用，而不是像第一个算法那样（可能）进行 i 步测试。

3.填写该数组使得 A[i] = i + 1。然后
for(i = 1; i < N; i++)
 swap(&A[i], &A[randInt(0, i)]);

/**
 * @description: 假设需要生成前N个整数的一个随机置换。例如，{4，3，1，5，2}和{3，1，4，2，5}就是合法的置换，但{5，4，1，2，1}却不是，因为数1出现两次而数3却没有。
 * @author: 
 * @date: 2018/7/24
 */
public class RandomReplace {

    /**
     * 随机数生成器randInt(i,j)，它以相同的概率生成i和j之间的一个整数。
     *
     * @param i
     * @param j
     * @return
     */
    private int randInt(int i,int j){
        Random rand = new Random();
        // 生成区间[i,j]的随机数
        return rand.nextInt(j-i + 1) + i;
    }

    /**
     * 方法一：填入从a[0]到a[n-1]的数组a，为了填入a[i]，生成随机数直到它不同于已经生成的a[0],a[1],...,a[i-1]时，再将其填入a[i]。
     *
     * 时间复杂度为O(N^2)
     * @param a
     */
    public int[] randFun1(int[] a){
        for(int i = 0; i < a.length; i++){
            a[i] = randInt(1,a.length);
            for(int j = 0; j < i; j++){
                if(a[i] == a[j]){
                    a[i] = randInt(1,a.length);
                    j = -1;
                }
            }
        }
        return a;
    }

    /**
     * 方法二：同方法一，但是要保存一个附加的数组，称为used数组。当一个随机数ran最初被放入数组a的时候，置used[ran] = true。
     * 这就是说，当用一个随机数填入a[i]时，可以用一步来测试是否该随机数已经被使用。
     *
     * 时间复杂度为O(N)
     * @param a
     * @return
     */
    public int[] randFun2(int[] a){
        int[] used = new int[a.length + 1];
        for(int i = 0; i < a.length; i++){
            a[i] = randInt(1,a.length);
            while(used[a[i]] != 0){
                a[i] = randInt(1,a.length);
            }
            used[a[i]] = 1;
        }
        return a;
    }

    /**
     * 方法三：填写该数组使得a[i]=i+1。然后for(i=1; i

习题2.16

基于下列各式编写另外的gcd算法（其中a>b）

gcd(a，b)=2gcd(a/2，b/2)若a和b均为偶数。
gcd(a，b)=gcd(a/2，b)若a为偶数， b为奇数。
gcd(a，b)=gcd(a，b/2)若a为奇数， b为偶数。
gcd(a，b)=gcd((a+b)/2，(a-b)/2)若a和b均为奇数。

    /**
     * 最大公约数（欧几里得算法）
     * 假设M ≥ N，如果N < M，则循环的第一次迭代将它们互换。
     *
     * @param m
     * @param n
     * @return
     */
    public long gcd(long m,long n){
        while(n != 0){
            long rem = m % n;
            m = n;
            n = rem;
        }
        return m;
    }

   public long gcd2(long m,long n){
        // a和b均为偶数
        if((m&1) == 0 && (n&1) == 0){
            return 2 * gcd(m/2,n/2);
        }
        //a为偶数， b为奇数。
        else if((m&1) == 0 && (n&1) != 0){
            return gcd(m/2,n);
        }
        //a为奇数， b为偶数
        else if((m&1) != 0 && (n&1) == 0){
            return gcd(m,n/2);
        }
        //a和b均为奇数
        else {
            return gcd((m+n)/2,(m-n)/2);
        }
    }

    /**
     * 最小公倍数（两个数乘积除以最大公约数）
     *
     * @param m
     * @param n
     * @return
     */
    public long lcm(long m,long n){
        long gcd = gcd(m, n);
        return m * n / gcd;
    }

习题2.17

给出有效的算法

a.求最小子序列和。

b.求最小的正子序列和。

c.求最大子序列乘积。

1.求最小子序列和。

    /**
     * 最小子序列和
     *
     * @param arr
     * @return
     */
    public static int getMinSeq(int[] arr) {
        int minSum = 0;
        if(arr != null && arr.length > 0){
            minSum = arr[0];
            int thisSum = 0;
            for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
                thisSum += arr[i];
                if (thisSum < minSum) {
                    minSum = thisSum;
                } else if (thisSum > 0) {
                    thisSum = 0;
                }
            }
        }
        return minSum;
    }

2.求最小的正子序列和。 

     /**
     * 最小正子序列和：1.连续子序列，2.序列和为正且最小
     * 思路：
     * (1)先求出数组的前缀数组之和，例如：2,-3,-3,7,5=>前缀数组和为2,-1,-4,3,8（它们的索引0 1 2 3 4）
     * (2)对前缀数组进行排序得到：-4,-1,2,3,8
     * (3)则最小值一定是在：-4,1,2,3,8（结果一定在当前项减去前面一项，同时满足索引大于前一项的索引）
     *
     * @param arr
     * @return
     */
    public static int getMinPositiveSeq(int[] arr) {
        int minPosSum = 0;
        int len = arr.length;
        int[] newArr = new int[len];

        for(int i = 0; i < len; i++){
            minPosSum += arr[i];
            newArr[i] = minPosSum;
        }
        // 快速排序
        quickSort(newArr,0,len - 1);
        int min = newArr[0] >= 0 ? newArr[0] : newArr[len - 1];
        for(int i = 1; i < len; i++){
            if(newArr[i] > newArr[i - 1]){
                int temp = newArr[i] - newArr[i - 1];
                if(temp < min){
                    min = temp;
                }
            }
        }
        return min;
    }

    /**
     * 快速排序
     * 1.从数组中选择一个数作为基准数。
     * 2.分区过程，将比这个数大的数全放到它的右边，小于或等于它的数全放到它的左边
     * 3.再对左右区间重复第2步，直到各区间只有一个数
     *
     * @param arr
     * @param low
     * @param high
     */
    private static void quickSort(int[] arr,int low,int high){
        if(low < high){
            int index = partition(arr,low,high);
            quickSort(arr,low,index - 1);
            quickSort(arr,index + 1,high);
        }
    }


    /**
     * 进行第一轮排序获取分割点
     *
     * @param arr
     * @param low
     * @param high
     * @return
     */
    private static int partition(int[] arr,int low,int high){
        int pivot = arr[high];
        int small = low - 1;

        for(int i = low; i < high; i++){
            //将比pivot值小的数放到左边
            if(arr[i] <= pivot){
                small++;
                swap(arr,i,small);
            }
        }
        swap(arr,high,small + 1);
        return small + 1;
    }

3. 求最大子序列乘积。

     /**
     * 最大子序列乘积
     * 方法一：动态规划，每一步只需要记住其前一步的整数最大值和负数的最小值。
     * @param arr
     * @return
     */
    public static int getMaxSeqMulti(int[] arr){
        if(arr == null || arr.length < 0){
            return 0;
        }
        int maxMulti = arr[0];
        int posMax = arr[0];
        int negMin = arr[0];
        for(int i = 1; i < arr.length; i++){
            int tempPosMax = posMax;
            int tempNegMax = negMin;
            posMax = Math.max(arr[i],Math.max(tempPosMax * arr[i],tempNegMax * arr[i]));
            negMin = Math.min(arr[i],Math.min(tempPosMax * arr[i],tempNegMax * arr[i]));
            if(Math.max(posMax,negMin) > maxMulti){
                maxMulti = Math.max(posMax,negMin);
            }
        }
        return maxMulti;
    }

    /**
     * 最大子序列乘积
     * 方法二：
     * @param arr
     * @return
     */
    public static int getMaxSeqMulti2(int[] arr){
        int max = Integer.MIN_VALUE;
        for(int i = 0; i < arr.length; i++){
            int temp = arr[i];
            for(int j = i + 1; j < arr.length; j++){
                max = Math.max(max,temp);
                temp *= arr[j];
            }
            max = Math.max(max,temp);
        }
        return max;
    }

习题2.20

编写一个程序来确定正整数N是否是素数。

思路：

如果一个数不是素数，那它除了1和本身一定还有其他的约数。我们假设这个数是num，num=m*n 一定可以分解为两个整数相乘。
设一个命题 ,num可以分解为两个数相乘并且这两个数都大于num的平方根
m>sqrt(num)
n>sqrt(num)
根据数学知识可以知道m*n>num 这与命题相反，所以命题是假的。

所以合数一定至少有一个不大于sqrt(num)约数，只要找到这个数就可以了。

    /**
     * 方法二：判断是否是素数，运行时间为O(√N)
     *
     * @param N
     * @return
     */
    public boolean isPrime(int N){
        if(N == 1){
            return false;
        }
        for(int i = 2; i <= Math.sqrt(N); i++){
            if(N % i == 0){
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

问题拓展：获取2~N之间的所有素数。 

    /**
     * 方法一：获取2~N之间的所有素数
     * 用ArrayList保存
     *
     * @param N
     */
    public void getPrime1(int N){
        List list = new ArrayList<>();
        for(int i = 2; i <= N; i++){
            if(isPrime(i)){
                list.add(i);
            }
        }
        for(Integer prime : list){
            System.out.print(prime + " ");
        }
    }

    /**
     * 方法二：双层for循环得出素数
     *
     * @param N
     */
    public void getPrime2(int N){
        for(int i = 2; i <= N; i++){
            int j;
            //测试2至i的数字是否能被i整除，如不能就自加
            for(j = 2; j <= i; j++){
                if(i % j == 0){
                    break;
                }
            }
            //当有被整除的数字时，判断它是不是自身，若是，则说明是素数
            if(j == i)
                System.out.print(j + " ");
        }
    }

厄拉多塞筛选法
筛选法，是指从小到大筛去一个已知素数的所有倍数。
例如：根据2，我们筛选去4，6，8jiang，....，98，100等数；然后根据3，我们可以筛选9，15，...99等数（注意此时6、12等数早就被筛去了）；
由于4被筛去了，下一个用于筛选的素数是5，以此类推，最后剩余的就是100以内的素数。 

public void getPrime3(int N){
        //默认isComposite为false
        boolean[] isComposite = new boolean[N + 1];
        for(int m = 2; m <= Math.sqrt(N); m++){
            //筛选 m 的倍数，将isComposite置为true
            if(!isComposite[m]){
                for(int k = m * m; k <= N; k += m){
                    isComposite[k] = true;
                }
            }
        }
        //剩下所有isComposite为false的数即为素数
        for(int m = 2; m <= N; m++){
            if(!isComposite[m]){
                System.out.print(m + " ");
            }
        }
    }