李宏毅深度强化学习笔记（一）Policy Gradient

李宏毅深度强化学习笔记（一）Policy Gradient

参考jessie_weiqing博客：https://blog.csdn.net/cindy_1102/article/details/87905272
李宏毅深度强化学习课程 https://www.bilibili.com/video/av24724071

Policy Gradient

术语和基本思想

基本组成:

• actor (即policy gradient要学习的对象, 是我们可以控制的部分)
• 环境 environment (给定的，无法控制)
• 回报函数 reward function (无法控制)

Policy of actor π:

如下图所示，Policy 可以理解为一个包含参数 θ \thetaθ的神经网络，该网络将观察到的变量作为模型的输入，基于概率输出对应的行动action

Episode:
游戏从开始到结束的一个完整的回合

actor的目标:
最大化总收益reward

Trajectory $\tau$:
行动action和状态state的序列

给定神经网络参数θ \的情况下，出现行动状态序列 $\tau$的概率:
以下概率的乘积：初始状态出现的概率；给定当前状态，采取某一个行动的概率；以及采取该行动之后，基于该行动以及当前状态返回下一个状态的概率，用公式表示为：
$$\begin{array}{l}{p}_{\theta }(\tau )\\ =p\left(s_1\right)p_{\theta }\left(a_1|s_1\right)p\left(s_2|s_1,a_1\right)p_{\theta }\left(a_2|s_2\right)p\left(s_3|s_2,a_2\right)\\ =p\left(s_1\right){\prod }_{t=1}^T{p}_{\theta }\left(a_t|s_t\right)p\left(s_{t+1}|s_t,a_t\right)\end{array}$$

给定一个行动状态序列 τ \tauτ, 我们可以得到它对应的收益reward，通过控制actor，我们可以得到不同的收益。由于actor采取的行动以及给定环境下出现某一个状态state是随机的，最终的目标是找到一个具有最大期望收益（即下述公式）的actor。

累积期望收益：采取某一个行动状态序列τ \tauτ的概率, 以及该行动状态序列对应的收益reward的乘积之和。
$${\overline{R}}_{\theta }=\sum _{\tau }R(\tau )p_{\theta }(\tau )=E_{\tau \sim p_{\theta }(\tau )}[R(\tau )]$$

Policy Gradient

得出目标函数之后，就需要根据目标函数求解目标函数最大值以及最大值对应的policy的参数 θ。类比深度学习中的梯度下降求最小值的方法，由于我们这里需要求的是目标函数的最大值，因此需要采取的方法是梯度上升。也就是说，思想起点是一样的，即需要求出目标函数的梯度。

求解梯度的步骤如下，以前文所述目标函数为基础，对参数 θ 求导，其中，对概率加权的reward求和就是求reward的期望，因此有红框部分的改写，又因为训练的过程中会进行采样训练，采样个数为N，因此公式可以近似表示为N词采样得到的reward的平均。

Tip 1: 添加基准线

由于训练过程中采样是随机的，可能会出现某个行动不被采样的情况，这会导致采取该行动的概率下降；另外，由于采取的行动概率和为一，可能存在归一化之后，好的action的概率相对下降，坏的action概率相对上升的情况，因此需要引入一个基准线baseline b bb.
具体的例子：当policy决定采取的三个action a，b，c均有正的reward时，比如3,4,5，在计算各个action的概率的时候，本来应该给action c分配较大的概率，但是归一化之后，a的概率反而可能上升，c的概率可能会下降，与对应reward应该被分配的概率分布不符。但是引入baseline之后，可能a的reward会变为负，这样的话，采取该行动的概率就会下降。
$$\nabla {\overline{R}}_{\theta }\approx \frac{1}{N}\sum _{n=1}^N\sum _{t=1}^{T_n}\left(R\left({\tau }^n\right)=b\right)\nabla \log p_{\theta }\left(a_t^n|s_t^n\right)b\approx E[R(\tau )]$$

Tip 2: 进一步考虑各个时间点的累积收益计算方式

考虑到在时间t采取的行动action与t时期之前的收益reward无关，因此只需要将t时刻开始到结束的reward进行加总。并且，由于行动action对随后各时间点的reward的影响会随着时间的推移而减小，因此加入折旧因子 γ。这样就得到了一个考虑比较全面，比较完善的梯度计算方式。