MIT 线性代数导论 第三讲：矩阵乘法与逆矩阵

为了以后自己看的明白(●’◡’●)，我决定对复杂的计算过程不再用Latex插入数学公式了（记得不熟的实在是太费劲了，还是手写好~）

第三讲的主要内容有两个：

• 四种矩阵乘法的方式
• 逆矩阵的概念以及计算方式

矩阵乘法（Matrix multiplication）

矩阵相乘例子：
$$\left(\begin{array}{c}A\\ (m,n)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}B\\ (n,p)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}C\\ (m,p)\end{array}\right)$$

1、具体到元素的乘法方式

结果矩阵 $C$ 的某一个元素 $C_{ij}$ 是由 $A$ 矩阵的第 $i$ 行元素与 $B$ 矩阵的第 $j$ 列相乘得到的，使用公式表示如下
$$C_{ij}=\sum _{k=1}^n{A}_{i,k}{B}_{k,j}$$

这是我们理解矩阵乘法一般的思想，但是在线性代数中，更好的方式是整体，也就是之前所提到的用向量乘的方式理解矩阵相乘，所以就有了接下来的方式

2.行方法

之前我们提到过行向量乘矩阵，可以理解为矩阵中行向量的线性组合，其实矩阵乘法也是如此，将左侧矩阵 $A$ 看作是多个行向量， 那么矩阵乘法就可以看作是多个行向量乘矩阵 $B$ ，将结果行向量（行向量乘以矩阵结果仍仍然是行向量）拼在一起就是结果矩阵 $C$。
简单来说就是把 $B$ 中的行向量作为基准，用 $A$ 中的行向量对其进行线性组合
例如：

其实就是将矩阵 $A$ ，也就是将左侧矩阵的每一个行向量去乘右侧的矩阵，那么每一个 $A$ 的行向量乘矩阵 $B$ 的结果作为结果矩阵的一个行向量，最后所有的向量乘矩阵计算完成之后就组成结果矩阵了。

3.列方法

同理，如果我们用左侧矩阵 $A$ 乘右侧矩阵 $B$ 的每一个列向量，其结果就是结果矩阵 $C$ 中的对应位置的列向量：

4.行列向量相乘

结合上面的两种方式，我们可以考虑对于结果矩阵 $C$ 中的位置为 $(i,j)$ 的元素是如何得到的，在第一种方式我们知道是矩阵 $A$ 的第 $i$ 行的每一个元素乘以矩阵 $B$ 的第 $j$ 列的每一个元素的和，其实从整体行列响亮的角度来看，其实就是 $A$ 第 $i$ 个行向量乘以 $B$ 的第 $j$ 个列向量（行向量乘以列向量结果是一个元素）

矩阵分块乘法

简单的提了一下分块乘法：
$$\left(\begin{array}{cc}{A}_1& A_2\\ A_3& A_4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{B}_1& B_2\\ B_3& B_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{A}_1{B}_1+A_2{B}_3& A_1{B}_2+A_2{B}_4\\ A_3{B}_1+A_4{B}_3& A_3{B}_2+A_4{B}_4\end{array}\right)$$
其中 $A$ ，$B$ 均代表矩阵

逆矩阵（Inverse matrix）

矩阵的逆（称为逆矩阵），也就是求解下式：
$$A^{-1}A=I$$
$I$ 是单位矩阵（identity matrix），首先明确一点，上式是左乘了一个矩阵使之称为单位阵，那么右乘一个矩阵使得结果矩阵成为单位阵那又如何呢？直接给出结果：
$$A^{-1}A=A{A}^{-1}=I$$
也就是说矩阵的逆唯一，当然这里有前提：这是对方阵而言，如果只是普通的矩阵，那显然左逆与右逆 的维数不一样，也就不会相等了。
接下来考虑的问题是对于一个方阵，是否一定存在逆矩阵？
举一个例子：
$$\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 6\end{array}\right)X=I$$
是否存在逆矩阵？结果是找不到的，可以这样理解：
首先我们可以发现这个矩阵的列向量是存在倍数关系的，第二列是第一列的2倍。
如果我们用上面列方法来考虑，也就是说矩阵 $I$ 的列向量都是左侧矩阵的列向量的线性组合，也就是说，矩阵 $I$ 的某一列是 $k\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)+p\left(\begin{array}{c}3\\ 6\end{array}\right)$ 这样的结果可以合并为 $m\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$ 显然这个结果肯定不会是单位阵中的某一列（因为特点是一列中只有一个1，其余的元素都是0）

接下来讨论如何求解一个方阵的逆：
一般的方法，就是假设出 $A^{-1}$ 中的元素，然后就是一个解线性方程组的过程了，更好的方式是将矩阵放在一起考虑，这个方法叫做高斯-若尔当方法（Guass-Jordan），方法如下：
求解 方阵 $A$ 的逆
首先构造这样的矩阵：
$$(A,I)$$
就像增广矩阵一样，在右侧添加一个单位阵，接下来，如果我们对整个矩阵进行一系列行变换使得矩阵中 $A$ 变为单位阵：
$$(I,?)$$
那么此时原来的单位阵变成了什么？首先用消元法的思想表示上面的过程：
$$E(A,I)=(EA,EI)，EA=I$$
这里将E乘到里面是为了更方便理解（可以想一下，左乘矩阵 $E$ ，是对整个矩阵进行行变换，所以列都是同步变化的）
因为 $EA=I$成立，逆是唯一的，所以 $EI$ 就应该是 $A$ 的逆矩阵了。
同时对两个矩阵进行行变换求逆矩阵，就是高斯-若尔当方法的思想
例子：
$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 3& ⋮& 1& 0\\ 2& 7& ⋮& 0& 1\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{ccccc}1& 3& ⋮& 1& 0\\ 0& 1& ⋮& -2& 1\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{ccccc}1& 0& ⋮& 7& -3\\ 0& 1& ⋮& -2& 1\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{cc}I& A^{-1}\end{array}\right)$$
以上~