非负矩阵分解——NMF (2)
本文非负矩阵分解（Nonegative matrix factorization，NMF）系列第二篇，主要介绍最基本的NMF原理及代码实现，内容主要包括：
1）基于Euclidean距离的NMF推导及实现；
2）基于KL散度的NMF推导及实现；
3）NMF应用示例
开始之前，有两点需要补充：
- 前面分析用的是X=AS形式，感觉别扭，好多文章都是用V = WH，后续打算也采用这也表达方式;
- NMF其实是含有约束的优化问题，但乘法算法可以巧妙得让我们只需讨论：无约束优化问题。
一、基于Euclidean距离的NMF推导及实现
考虑无约束优化问题：
利用梯度下降：
其中：
如果直接梯度下降，对于无约束的优化问题，我们不能保证结果都是非负的，下面巧妙之处来了：将梯度下降法变为乘法算法。
令：
梯度下降法变换为乘法算法：
真是巧妙！一个复杂的约束性优化问题，就让一个简单的无约束给解决了。这样一来，如果原矩阵为非负，W、H初始值同样非负，结果自始至终都是非负，直至迭代到满足收敛条件。
给出对应的代码实现：
function [W, H] = nmf(V, K, MAXITER)
%Euclidean distance
F = size(V,1);
T = size(V,2);
rand('seed',0)
W = 1+rand(F, K);
% W = W./repmat(sum(W),F,1);
H = 1+rand(K, T);
ONES = ones(F,T);
for i=1:MAXITER
H = H .* (W'*V)./(W'*W*H+eps) ;
W = W .* (V*H')./(W*H*H'+eps);
end其实关键的就是循环里的两行。
二、基于KL散度的NMF推导及实现
整个思路与Euclidean distance下的求解思路如出一辙。
考虑无约束优化问题：
利用梯度下降算法：
其中：
根据梯度下降算法转化为乘法算法：
令：
梯度下降算法改写为乘法算法：
对应代码：
function [W, H] = nmf(V, K, MAXITER)
%KL-divergence
F = size(V,1);
T = size(V,2);
rand('seed',0)
W = 1+rand(F, K);
% W = W./repmat(sum(W),F,1);
H = 1+rand(K, T);
ONES = ones(F,T);
for i=1:MAXITER
H = H .* (W'*( V./(W*H+eps))) ./ (W'*ONES);
W = W .* ((V./(W*H+eps))*H') ./(ONES*H');
end
链接：http://www.cnblogs.com/xingshansi/p/6670214.html