凸函数上境图的刻画

在文章《凸集分离定理》的最后我们知道，一个闭凸集是所有包含它的闭的半空间的交集。设f是 Rn 一个闭的凸函数，那么它的上境图是一个闭凸集，所以一个闭的凸函数的上境图是 Rn+1 中所有包含这个上境图的交集。

下面我们先来刻画 Rn+1 中所有的超平面

Rn+1 的超平面可以由线性函数表示：

(x,μ)→<x,b>+μβ0b∈Rn,β0∈R

由于非零的线性函数在标量乘法下确定的是同一个超平面，所以我们只需要考虑 β0=0 或者 β0=−1 的情况。

1. β0=0

{(x,μ)|<x,b>=β}0≠b∈Rn,β∈R

这种情况我们称之为垂直的（vertical）超平面。

2. β0=−1

{(x,μ)|<x,b>−μ=β}b∈Rn,β∈R

这种情况下，这些超平面是函数 h(x)=<x,b>−β 的图像（graph）。

有了超平面的刻画，我们立刻可以得到 Rn+1 中闭的半空间的刻画：

命题1. Rn+1 中任何闭的半空间是下面的三种类型之一：
（a） {(x,μ)|<x,b>≤β}={(x,μ)|≤0},b≠0 ;

（b） {(x,μ)|μ≥<x,b>−β}=epih ;

（c） {(x,μ)|μ≤<x,b>−β} .
我们分别称他们为垂直类型的（vertical），向上型的（upper），和向下型的（lower）。

下面我们来刻画闭凸函数的上境图
定理2.设f 是一个闭凸函数，那么：

f(x)=sup{h(x)|h≤f,h是仿射函数}

即f是所有不大于它的仿射函数的逐点上确界。
证明：
我们假设f 是正常的（proper），否则情况是平凡的。
前面说过： epif 是 Rn+1 中所有包含它的闭的半空间的交集
首先向下型的半空间不会是这些包含上境图的半空间的一员
所以只需要考虑垂直型的和向上型的半空间。
这里需要注意的是，这些半空间不能只是垂直型的，否则就和f是正常的矛盾
而向上型的半空间就是那些不大于f的仿射函数的上境图
所以，我们只需要证明：所有包含 epif 的垂直型和向上型的半空间的交集等于所有包含 epif 向上型的半空间的交集。
设V是包含 epif 的一个垂直型的半空间：
V={(x,μ)|0≥<x,b1>−β1=h1(x)} ， (x0,μ0) 是V之外的一个点
我们只要证明:存在一个仿射函数使得 h≤f ,且 μ0<h(x0)
我们已经知道至少存在一个仿射函数 h2 使得 h2≤f,i.e.epif⊂epih2
又，对任意 x∈domf , 有 h1(x)≤0 且 h2(x)≤f(x)
那么： λh1(x)+h2(x)≤f(x),∀λ≥0
同样的等式对 x∉domf 也成立，因为此时 f(x)=+∞
综上我们有：固定 λ 足够大，令

h(x)=λh1(x)+h2(x)=<x,λb1+b2>−(λβ1+β2)

由于 h1(x0)>0 , 充分大的 λ 可以保证 h(x0)>μ0 .

注：设f是 Rn 到 R 的函数，由于 cl(convf) 是不大于f最大的闭凸函数，所以任意仿射函数h，h不大于f当且仅当h不大于 cl(convf) ，我们得到， cl(convf) 是所有不大于f的仿射函数的逐点上确界。