08-1 从线性变换角度看叉积

I.问题描述

我们在08小节给出一个计算三维向量叉积的公式，但是这个公式为啥是那样呢？

为啥这样计算出的向量满足三条性质呢？

(1).长度=平行四边形的面积 (2).方向垂直于向量v和向量u (3).满足右手定则

通过公式推理，我们可以得出满足两条性质。但是我们下面用更直观的解释。

---

II.预备知识

1.对偶性

指和一个向量点积 和 用这个向量进行线性变换 等价

---

III.证明计划

1.根据向量v和w定义一个三维到一维的线性变换 指: 定义一个线性变换方程，可以把三维向量转到一维的数，用到非方阵

2.找到它的对偶向量 指: 把线性变换矩阵 换成 向量形式

3.说明这个对偶向量就是指: 证明这个向量在几何上满足叉积的三个性质，而计算描述就是最终的向量结果

1.从行列式考虑

行列式确实能描述面积，前面行列式那章讲过了。

三个三维向量的体积可以通过行列式来计算，输出一个数

上图不是叉积，因为叉积的定义是接受俩三维向量并输出一个向量。并不是接受三个向量并输出一个数

2.证明的转折点

(1)三维空间到数轴的线性变换

把第一列换成向量(x,y,z),该向量可变，所以我们就通过行列式定义了一个三维向量到一维的函数(函数的值是体积，有正负号)

该函数是线性的，所以可以用线性变换的形式表示这个函数。

线性变换和向量本身存在对偶性，所以我们可以把它立起来表示成点积。

(1)从计算角度解出p向量

现在我们要找出一个p向量，使等号俩边相等

俩边展开，我们就得到p向量的坐标，注意p的坐标是用i基，j基和k基描述的

回到叉积的计算，i基，j基，k基是传递一个信号:把这些系数解析成一个向量的坐标(来表明叉积是生成一个向量)

下面我们来证明我们解出的p向量的坐标确实是一个垂直于向量v和u并且大小等于所围面积的向量。

(2)从几何角度观察p向量

前面不是已经解出向量p了吗？其实下面是从几何角度考虑该向量的性质，而不是计算角度。

点积的几何描述

体积如图所示，所以线性变换函数的作用是把向量(x,y,z)先做投影，再乘以底面积

该体积的计算又等价于 【向量(x,y,z)和一个方向垂直于向量v和u，大小为他俩所围面积的向量】 的点积

所以我们找到了p的几何描述，其为【大小方向垂直于向量v和u，大小为他俩所围面积的向量】

前面的计算描述也顺理成章地满足这个几何描述。所以我们找到了p向量，他满足叉积的性质。

所以把这个坐标用行列式描述就是以下形式了。我们实现了计算角度和几何角度的关联,左边是计算角度，右边是几何角度。

---

总结

牢记对不确定的东西的证明过程是 先算出计算描述，然后证明你这个计算描述满足你想要的几何性质。

还有一种定义公理的过程是 先给出一个定义的几何描述(即说明这个定义想干啥)，然后用计算描述表达出来(这就不用证明了，你就把计算描述当成一种表达你想法的语言即可)。比如矩阵和向量的乘法就是描述线性变换的，这里就是一种描述语言，描述你想用它干嘛，没啥可证的。