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差分与前缀和互为逆运算,即差分数组的前缀和数组为原数组,前缀和数组的差分数组为原数组.二者都利用了容斥原理,这一点在二维平面(或者二维数组)中体现的更加明显.
那么我们先来讲二维前缀和
二维前缀和
一维的前缀和数组是求从数组的首项加到当前项的和,即:
\[ sum[i]=\sum_{j=1}^{i}a[j]=(\sum_{j=1}^{i-1}a[j])+a[i]=sum[i-1]+a[i] \]
这就是一维前缀和的递推方法.
那么二维的前缀和,我们定义为以二维数组的首行首列(即左上角)元素为左上角,当前位置元素为右下角的矩阵的元素和.当我们推到\((i,j)\)时,我们考虑该怎么计算\(sum[i][j]\).由于左上角已经固定,我们只考虑右下角.当右下角为\((i,j-1)\)时,这是一个\((i,j)\)左侧的矩阵,当右下角为\((i-1,j)\)时,这表示一个\((i,j)\)上方的矩阵.那么如果我们要求\((i,j)\)左上方所有元素的和,是不是只要将这两个已经计算好的矩阵和加起来,再加上\(a[i][j]\)就行了呢?
当然不是.
因为左侧的矩阵和上方的矩阵有一个重合部分,即一个以\((i-1,j-1)\)为右下角的,完全位于\((i,j)\)左上方的矩阵,直接相加时它被计算了两次,因此我们要把它减去.即:
\[ sum[i][j]=\sum_{p=1}^{i}\sum_{q=1}^{j}a[i][j]=\sum_{p=1}^{i}\sum_{q=1}^{j-1}a[p][q]+\sum_{p=1}^{i-1}\sum_{q=1}^{j}a[p][q]-\sum_{p=1}^{i-1}\sum_{q=1}^{j-1}a[p][q] + a[i][j]=sum[i][j-1]+sum[i-1][j]-sum[i-1][j-1]+a[i][j] \]
么这就是二维前缀和,求某个矩阵的和的时候过程与此类似.
二维差分
一维的差分是指每一项比前一项多多少,即:
\[ cf[i]=a[i]-a[i-1] \]
通过差分数组和树状数组可以实现快速的区间加减,也就是使\(cf[l]+v,cf[r+1]-v\)(注意\(r\)要\(+1\)).当我们要求回复正常形式的数组的时候,只需要求前缀和就可以了,即:
\[ a[i]=cf\_sum[i-1]+cf[i] \]
那么二维差分呢?它只不过是在一维差分上又加了一维而已.它的递推公式是这样的:
\[ cf[i][j] = a[i][j]-a[i][j-1]-a[i-1][j]+a[i-1][j-1] \]
即当前元素减去左边元素再减去上边元素再加上左上角元素.
那么由二维差分数组要求出原数,只需要求出二维前缀和即可.通过二维差分可以快速实现矩阵加减.