牛客网暑期ACM多校训练营（第一场）A.Monotonic Matrix(非降路径和Lindström–Gessel–Viennot定理)

链接：https://www.nowcoder.com/acm/contest/139/A
来源：牛客网

题目描述
Count the number of n x m matrices A satisfying the following condition modulo (109+7).
* Ai, j ∈ {0, 1, 2} for all 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.
* Ai, j ≤ Ai + 1, j for all 1 ≤ i < n, 1 ≤ j ≤ m.
* Ai, j ≤ Ai, j + 1 for all 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j < m.
输入描述:
The input consists of several test cases and is terminated by end-of-file.
Each test case contains two integers n and m.
输出描述:
For each test case, print an integer which denotes the result.
示例1
输入

复制
1 2
2 2
1000 1000
输出

复制
6
20
540949876
备注:
* 1 ≤ n, m ≤ 103
* The number of test cases does not exceed 105.

题意

给你一个nxm的矩阵让你向其中填{0,1,2}三个数且满足 Ai,j⩽Ai+1,j A i , j ⩽ A i + 1 , j ， Ai,j⩽Ai,j+1 A i , j ⩽ A i , j + 1 有几种填法

思路

填数的过程可以看作是一个沿着网格走的过程，我们先只考虑仅有0,1两个数字那么每一种填法都有一条沿着两者边界的路径，这个路径也满足只能往上和往右走，这就变成了典型的非降路径的问题了

非降路径问题转换为组合数可以认为总共有n+m总选择方案从中选择n种或m种及 Cnn+m C n + m n 或 Cmn+m C n + m m ，这道题的区别在于现在有两条路径一条是0和1的一条是1和2的即把矩阵分成3个区间

现在有两条可重合的路径

(n,0)−>(0,m) ( n , 0 ) − > ( 0 , m )

如果不考虑两条路径相交的情况的话，那么总的方法数就会变成 Cnn+m∗Cnn+m C n + m n ∗ C n + m n
下面是去重的方法
我们将其中的一条向左上平移使其变为 (n−1,−1)−>(−1,m−1) ( n − 1 , − 1 ) − > ( − 1 , m − 1 ) ，相对的我们要求解的就是这两条路径严格不相交的方案数
那么现在两条路径就是

(n,0)−>(0,m) ( n , 0 ) − > ( 0 , m )

(n−1,−1)−>(−1,m−1) ( n − 1 , − 1 ) − > ( − 1 , m − 1 )

根据 Lindström–Gessel–Viennot引理我们就可以求出n条严格不相交的路径的方案数

M=∣∣∣∣∣∣∣e(a1,b1)e(a2,b1)⋮e(an,b1)e(a1,b2)e(a2,b2)⋮e(an,b2)⋯⋯⋱⋯e(a1,bn)e(a2,bn)⋮e(an,bn)∣∣∣∣∣∣∣ M = | e ( a 1 , b 1 ) e ( a 1 , b 2 ) ⋯ e ( a 1 , b n ) e ( a 2 , b 1 ) e ( a 2 , b 2 ) ⋯ e ( a 2 , b n ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ e ( a n , b 1 ) e ( a n , b 2 ) ⋯ e ( a n , b n ) |

其中 ai a i 代表路径的起点 bi b i 代表路径的终点 e(ai,bj) e ( a i , b j ) 代表 ai a i 到 bj b j 的方案数，答案是这个行列式的值
我们现在只有两个点即

a1=(n,0),b1=(0,m) a 1 = ( n , 0 ) , b 1 = ( 0 , m )

a2=(n−1,−1),b2=(−1,m−1) a 2 = ( n − 1 , − 1 ) , b 2 = ( − 1 , m − 1 )

那么答案就是

M=∣∣∣e(a1,b1)e(a2,b1)e(a1,b2)e(a2,b2)∣∣∣=∣∣∣Cnn+mCm+1n+mCn+1n+mCnn+m∣∣∣=Cnn+m2−Cn+1n+m∗Cm+1n+m M = | e ( a 1 , b 1 ) e ( a 1 , b 2 ) e ( a 2 , b 1 ) e ( a 2 , b 2 ) | = | C n + m n C n + m n + 1 C n + m m + 1 C n + m n | = C n + m n 2 − C n + m n + 1 ∗ C n + m m + 1

e(ai,bj) e ( a i , b j ) 可以用非降路径的方法求出

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int N=2e3+5;
const long long mod=1e9+7;
long long C[N][N];
void get_C()
{
    C[0][0] = 1;
    for(int i=1;i0] = 1;
        for(int j=1;j<=i;j++)
            {
            C[i][j] = (C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
            }
    }
}
int main()
{
    get_C();
    int n,m;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        long long ans=(C[n+m][n]%mod*C[n+m][n]%mod-C[n+m][n+1]%mod*C[n+m][m+1]%mod)%mod;
        printf("%lld\n",(ans+mod)%mod);
    }
    return 0;
}