杨辉三角每行奇数个数及Lucas′s theorem推导
求杨辉三角第 n n n 行奇数的个数，或者 ∑ i = 0 n ( ( n i ) % 2 ) 的 值 \sum_{i=0}^n(\binom{n}{i}\%2)的值 ∑i=0n((in)%2)的值
杨辉三角，也称帕斯卡三角( P a s c a l ′ s t r i a n g l e Pascal's\ triangle Pascal′s triangle)，如下图：
其具有性质：第 n n n 行 第 m m m 列元素值为 ( n m ) \binom{n}{m} (mn)，且有 ( n m ) = ( n − 1 m − 1 ) + ( n − 1 m ) \binom{n}{m}=\binom{n-1}{m-1}+\binom{n-1}{m} (mn)=(m−1n−1)+(mn−1)，即第 n n n 行 m m m 列的值等于第 n − 1 n-1 n−1 行 m − 1 m-1 m−1 列的值与第 n − 1 n-1 n−1 行 m m m 列的值的和。
对于任意的素数 p p p 有：
(1) ( n m ) = ( ⌊ n p ⌋ ⌊ m p ⌋ ) ( n m o d p m m o d p ) ( m o d p ) \binom{n}{m}=\binom{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}{\lfloor\frac{m}{p}\rfloor}\binom{n\ mod\ p}{m\ mod\ p}(mod\ p)\tag{1} (mn)=(⌊pm⌋⌊pn⌋)(m mod pn mod p)(mod p)(1) 当 n < m 时 ， ( n m ) = 0 当 n<m时，\binom{n}{m}=0 当n<m时，(mn)=0
证明：
1.当 n m o d p ≥ m m o d p n\ mod\ p \ge m\ mod\ p n mod p≥m mod p 时，因为
(2) n = ⌊ n p ⌋ ⋅ p + n m o d p \begin{aligned} n=\lfloor\frac{n}{p}\rfloor\cdot p+n\ mod\ p\tag{2} \end{aligned} n=⌊pn⌋⋅p+n mod p(2)
所以有
(3) ( 1 + x ) n = ( 1 + x ) p ⋅ ⌊ n p ⌋ ( 1 + x ) n m o d p ≡ ( 1 + x p ) ⌊ n p ⌋ ( 1 + x ) n m o d p ( m o d p ) \begin{aligned} (1+x)^n&=(1+x)^{p\cdot \lfloor\frac{n}{p}\rfloor}(1+x)^{n\ mod\ p}\\ &\equiv (1+x^p)^{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}(1+x)^{n\ mod\ p}\ (mod\ p)\tag{3} \end{aligned} (1+x)n=(1+x)p⋅⌊pn⌋(1+x)n mod p≡(1+xp)⌊pn⌋(1+x)n mod p (mod p)(3)考虑公式(3)中 x m x^m xm项的模 p p p 系数，左边为 ( n m ) m o d p \binom{n}{m}\ mod\ p (mn) mod p右边为 ( ⌊ n p ⌋ ⌊ m p ⌋ ) ( n m o d p m m o d p ) ( m o d p ) \binom{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}{\lfloor\frac{m}{p}\rfloor}\binom{n\ mod\ p}{m\ mod\ p}(mod\ p) (⌊pm⌋⌊pn⌋)(m mod pn mod p)(mod p)
因此当 n m o d p ≥ m m o d p n\ mod\ p\ge m\ mod\ p n mod p≥m mod p时，上述等式成立。
2.当 n m o d p < m m o d p n\ mod\ p<m\ mod\ p n mod p<m mod p 时， ( n m o d p m m o d p ) ( m o d p ) = 0 \binom{n\ mod\ p}{m\ mod\ p}(mod\ p)=0 (m mod pn mod p)(mod p)=0而又因为 n ! n! n!的 p p p 因子个数为 ∑ i = 1 + ∞ ⌊ n p i ⌋ \sum_{i=1}^{+ \infty}\lfloor\frac{n}{p^i}\rfloor i=1∑+∞⌊pin⌋那么 (4) ( n m ) = n ! m ! ( n − m ) ! \binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\tag{4} (mn)=m!(n−m)!n!(4)的 p p p 因子个数为
(5) ∑ i = 1 + ∞ ⌊ n p i ⌋ − ∑ i = 1 + ∞ ( ⌊ m p i ⌋ + ⌊ n − m p i ⌋ ) = ∑ i = 1 + ∞ ( ⌊ n p i ⌋ − ⌊ m p i ⌋ − ⌊ n − m p i ⌋ ) \sum_{i=1}^{+ \infty}\lfloor\frac{n}{p^i}\rfloor-\sum_{i=1}^{+ \infty}(\lfloor\frac{m}{p^i}\rfloor+\lfloor\frac{n-m}{p^i}\rfloor)=\sum_{i=1}^{+ \infty}(\lfloor\frac{n}{p^i}\rfloor-\lfloor\frac{m}{p^i}\rfloor-\lfloor\frac{n-m}{p^i}\rfloor)\tag{5} i=1∑+∞⌊pin⌋−i=1∑+∞(⌊pim⌋+⌊pin−m⌋)=i=1∑+∞(⌊pin⌋−⌊pim⌋−⌊pin−m⌋)(5)
显然
⌊ n p i ⌋ − ⌊ m p i ⌋ − ⌊ n − m p i ⌋ ≥ 0 \lfloor\frac{n}{p^i}\rfloor-\lfloor\frac{m}{p^i}\rfloor-\lfloor\frac{n-m}{p^i}\rfloor\ge 0 ⌊pin⌋−⌊pim⌋−⌊pin−m⌋≥0
如果 n m o d p < m m o d p n\ mod\ p<m\ mod\ p n mod p<m mod p，可以推出
⌊ n p ⌋ − ⌊ m p ⌋ − ⌊ n − m p ⌋ = 1 \lfloor\frac{n}{p}\rfloor-\lfloor\frac{m}{p}\rfloor-\lfloor\frac{n-m}{p}\rfloor=1 ⌊pn⌋−⌊pm⌋−⌊pn−m⌋=1于是 ( n m ) \binom{n}{m} (mn)的 p p p 因子个数 ≥ 1 \ge1 ≥1，所以 ( n m ) ≡ 0 ( m o d p ) \binom{n}{m}\equiv 0(mod\ p) (mn)≡0(mod p) ，即当 n m o d p < m m o d p n\ mod\ p<m\ mod\ p n mod p<m mod p时，式子(1)两边等于0。
综上所述式子(1)得证。
L u c a s ′ s t h e o r e m : ( n m ) ≡ ∏ i = 0 k ( n i m i ) ( m o d p ) ， 其 中 Lucas's\ theorem:\binom{n}{m}\equiv \prod_{i=0}^{k}\binom{n_i}{m_i}(mod\ p)，其中 Lucas′s theorem:(mn)≡i=0∏k(mini)(mod p)，其中 m = m k p k + m k − 1 p k − 1 + ⋯ m 1 p + m 0 m=m_kp^k+m_{k-1}p^{k-1}+\cdots m_1p+m_0 m=mkpk+mk−1pk−1+⋯m1p+m0 n = n k p k + n k − 1 p k − 1 + ⋯ n 1 p + n 0 n=n_kp^k+n_{k-1}p^{k-1}+\cdots n_1p+n_0 n=nkpk+nk−1pk−1+⋯n1p+n0 且 当 n i < m i 时 ， ( n i m i ) = 0 且当n_i<m_i时，\binom{n_i}{m_i}=0 且当ni<mi时，(mini)=0
证明：利用上述定理对 ( ⌊ n p ⌋ ⌊ m p ⌋ ) \binom{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}{\lfloor\frac{m}{p}\rfloor} (⌊pm⌋⌊pn⌋)递归展开，便可推出 L u c a s ′ s t h e o r e m Lucas's\ theorem Lucas′s theorem。
当 p = 2 p=2 p=2 时，要使得 ( n m ) ≡ 1 m o d 2 \binom{n}{m}\equiv 1\ mod\ 2 (mn)≡1 mod 2，即要求 ∏ i = 0 k ( n i m i ) ≡ 1 m o d p \prod_{i=0}^{k}\binom{n_i}{m_i}\equiv 1\ mod\ p i=0∏k(mini)≡1 mod p由于在 n , m n,m n,m 的二进制展开中，系数 1 ≥ n i , m i ≥ 0 1\ge n_i,m_i\ge 0 1≥ni,mi≥0，所以只有当 n i ≥ m i n_i\ge m_i ni≥mi 时， ( n i m i ) = 1 \binom{n_i}{m_i}=1 (mini)=1，记 n n n 的二进制表示中 1 1 1 的个数为 I ( n ) I(n) I(n)而对于 n n n 的二进制展开，满足 n i ≥ m i n_i\ge m_i ni≥mi 的 m m m 有 2 I ( n ) 2^{I(n)} 2I(n) 个，所以对于杨辉三角第 n n n 行数列 ( n − 1 0 ) , ( n − 1 1 ) , ⋯ , ( n − 1 m ) , ⋯ , ( n − 1 n ) \binom{n-1}{0}, \binom{n-1}{1},\cdots,\binom{n-1}{m},\cdots,\binom{n-1}{n} (0n−1),(1n−1),⋯,(mn−1),⋯,(nn−1)其中奇数个数为 2 I ( n − 1 ) 2^{I(n-1)} 2I(n−1) 个。