杨辉三角每行奇数个数及Lucas′s theorem推导

求杨辉三角第 $n$ 行奇数的个数，或者 ${\sum }_{i=0}^n((\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})\%2)的值$

杨辉三角，也称帕斯卡三角($Pasca{l}^{\prime }striangle$)，如下图：

其具有性质：第 $n$ 行 第 $m$ 列元素值为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)$，且有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{m-1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{m}\right)$，即第 $n$ 行 $m$ 列的值等于第 $n-1$ 行 $m-1$ 列的值与第 $n-1$ 行 $m$ 列的值的和。

对于任意的素数 $p$ 有：
$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor }{\lfloor \frac{m}{p}\rfloor }\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{nmodp}{mmodp}\right)(modp)\text{\hspace{1em}(1)}$$$$当n<m时，\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)=0$$
证明：
1.当 $nmodp\ge mmodp$ 时，因为
$$\begin{array}{r}n=\lfloor \frac{n}{p}\rfloor \cdot p+nmodp\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$
所以有
$$\begin{array}{rl}(1+x{)}^n& =(1+x{)}^{p\cdot \lfloor \frac{n}{p}\rfloor }(1+x{)}^{nmodp}\\ & \equiv (1+x^p{)}^{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor }(1+x{)}^{nmodp}(modp)\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$考虑公式(3)中$x^m$项的模 $p$ 系数，左边为$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)modp$$右边为 $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor }{\lfloor \frac{m}{p}\rfloor }\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{nmodp}{mmodp}\right)(modp)$$
因此当$nmodp\ge mmodp$时，上述等式成立。
2.当 $nmodp<mmodp$ 时，$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{nmodp}{mmodp}\right)(modp)=0$$而又因为$n!$的 $p$ 因子个数为 $$\sum _{i=1}^{+\infty }\lfloor \frac{n}{p^i}\rfloor$$那么 $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)=\frac{n!}{m!(n-m)!}\text{\hspace{1em}(4)}$$的$p$ 因子个数为
$$\sum _{i=1}^{+\infty }\lfloor \frac{n}{p^i}\rfloor -\sum _{i=1}^{+\infty }(\lfloor \frac{m}{p^i}\rfloor +\lfloor \frac{n-m}{p^i}\rfloor )=\sum _{i=1}^{+\infty }(\lfloor \frac{n}{p^i}\rfloor -\lfloor \frac{m}{p^i}\rfloor -\lfloor \frac{n-m}{p^i}\rfloor )\text{\hspace{1em}(5)}$$
显然
$$\lfloor \frac{n}{p^i}\rfloor -\lfloor \frac{m}{p^i}\rfloor -\lfloor \frac{n-m}{p^i}\rfloor \ge 0$$
如果 $nmodp<mmodp$，可以推出
$$\lfloor \frac{n}{p}\rfloor -\lfloor \frac{m}{p}\rfloor -\lfloor \frac{n-m}{p}\rfloor =1$$于是$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)$的 $p$ 因子个数 $\ge 1$，所以 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)\equiv 0(modp)$ ，即当$nmodp<mmodp$时，式子(1)两边等于0。
综上所述式子(1)得证。
$$Luca{s}^{\prime }stheorem:\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)\equiv \prod _{i=0}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n_i}{m_i}\right)(modp)，其中$$$$m=m_k{p}^k+m_{k-1}{p}^{k-1}+\cdots m_{1}p+m_0$$ $$n=n_k{p}^k+n_{k-1}{p}^{k-1}+\cdots n_{1}p+n_0$$$$且当n_i<m_i时，\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n_i}{m_i}\right)=0$$
证明：利用上述定理对 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor }{\lfloor \frac{m}{p}\rfloor }\right)$递归展开，便可推出 $Luca{s}^{\prime }stheorem$。

当 $p=2$ 时，要使得 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)\equiv 1mod2$，即要求$$\prod _{i=0}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n_i}{m_i}\right)\equiv 1modp$$由于在 $n,m$ 的二进制展开中，系数 $1\ge n_i,m_i\ge 0$，所以只有当 $n_i\ge m_i$ 时，$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n_i}{m_i}\right)=1$，记 $n$ 的二进制表示中 $1$ 的个数为 $I(n)$而对于 $n$ 的二进制展开，满足 $n_i\ge m_i$ 的 $m$ 有 $2^{I(n)}$ 个，所以对于杨辉三角第 $n$ 行数列 $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{0}\right),\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{1}\right),\cdots ,\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{m}\right),\cdots ,\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{n}\right)$$其中奇数个数为 $2^{I(n-1)}$ 个。