图论最短路径算法（一）Floyed算法（弗洛伊德算法）

Floyed-Warshall算法 O(N^3)

简称Floyed(弗洛伊德)算法，是最简单的最短路径算法，可以计算图中任意两点间的最短路径。Floyed的时间复杂度是O (N3)，适用于出现负边权的情况。

以下没有特别说明的话，dis[u][v]表示从u到v最短路径长度，w[u][v]表示连接u，v的边的长度。

算法描述：

初始化：点u、v如果有边相连，则dis[u][v]=w[u][v]。如果不相连则dis[u][v]=0x7fffffff

For (k = 1; k <= n; k++)
    For (i = 1; i <= n; i++)
	 For (j = 1; j <= n; j++)
	     If (dis[i][j] >dis[i][k] + dis[k][j])
	         dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j];

算法结束：dis[i][j]得出的就是从i到j的最短路径。

算法分析&思想讲解：

三层循环，第一层循环中间点k，第二第三层循环起点终点i、j，算法的思想很容易理解：如果点i到点k的距离加上点k到点j的距离小于原先点i到点j的距离，那么就用这个更短的路径长度来更新原先点i到点j的距离。
　　
　　在上图中，因为dis[1][3]+dis[3][2] 　　
　　我们在初始化时，把不相连的点之间的距离设为一个很大的数，不妨可以看作这两点相隔很远很远，如果两者之间有最短路径的话，就会更新成最短路径的长度。Floyed算法的时间复杂度是O(N³)。

Floyed算法变形：

如果是一个没有边权的图，把相连的两点间的距离设为dis[i][j]=true，不相连的两点设为dis[i][j]=false，用Floyed算法的变形：

For (k = 1; k <= n; k++)
  For (i = 1; i <= n; i++)
    For (j = 1; j <= n; j++)
　　  dis[i][j] = dis[i][j] || (dis[i][k] && dis[k][j]);

用这个办法可以判断一张图中的两点是否相连。

最后再强调一点：用来循环中间点的变量k必须放在最外面一层循环。

应用场景

【例1】最短路径问题

【问题描述】
　　平面上有n个点（n<=100），每个点的坐标均在-10000~10000之间。其中的一些点之间有连线。
　　
　　若有连线，则表示可从一个点到达另一个点，即两点间有通路，通路的距离为两点间的直线距离。现在的
　　
　　任务是找出从一点到另一点之间的最短路径。
　　
【输入格式】
　　输入文件为short.in，共n+m+3行，其中:
　　
　　第一行为整数n。
　　
　　第2行到第n+1行（共n行） ，每行两个整数x和y，描述了一个点的坐标。
　　
　　第n+2行为一个整数m，表示图中连线的个数。
　　
　　此后的m 行，每行描述一条连线，由两个整数i和j组成，表示第i个点和第j个点之间有连线。
　　
　　最后一行：两个整数s和t，分别表示源点和目标点。
　　
【输出格式】
　　输出文件为short.out，仅一行，一个实数（保留两位小数），表示从s到t的最短路径长度。

【输入样例】
5
0 0
2 0
2 2
0 2
3 1
5
1 2
1 3
1 4
2 5
3 5
1 5

【输出样例】
3.41

【实例代码】

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int a[101][3];
double f[101][101];
int n,i,j,k,x,y,m,s,e;
int main()
{
    cin >> n;
    for (i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i][1] >> a[i][2];
    cin >> m;
    memset(f,0x7f,sizeof(f));                    //初始化f数组为最大值
    for (i = 1; i <= m; i++)                           //预处理出x、y间距离
    {
      cin >> x >> y;
      f[y][x] = f[x][y] = sqrt(pow(double(a[x][1]-a[y][1]),2)+pow(double(a[x][2]-a[y][2]),2));
                     //pow(x,y)表示x^y，其中x,y必须为double类型，要用cmath库
    }
    cin >> s >> e;
    for (k = 1; k <= n; k++)                     //floyed 最短路算法
       for (i = 1; i <= n; i++)
          for (j = 1; j <= n; j++)
             if ((i != j) && (i != k) && (j != k) && (f[i][k]+f[k][j] < f[i][j]))
                 f[i][j] = f[i][k] + f[k][j];
    printf("%.2lf\n",f[s][e]);
    return 0;
}

【例2】牛的旅行

【问题描述】
　　农民John的农场里有很多牧区。有的路径连接一些特定的牧区。一片所有连通的牧区称为一个牧场。但是就目前而言，你能看到至少有两个牧区不连通。现在，John想在农场里添加一条路径 ( 注意，恰好一条 )。对这条路径有这样的限制：一个牧场的直径就是牧场中最远的两个牧区的距离 ( 本题中所提到的所有距离指的都是最短的距离 )。考虑如下的两个牧场，图１是有5个牧区的牧场，牧区用“*”表示，路径用直线表示。每一个牧区都有自己的坐标：
　　
　　图１所示的牧场的直径大约是12.07106, 最远的两个牧区是A和E，它们之间的最短路径是A-B-E。 　　
　　
　　这两个牧场都在John的农场上。John将会在两个牧场中各选一个牧区，然后用一条路径连起来，使得连通后这个新的更大的牧场有最小的直径。
　　
　　注意，如果两条路径中途相交，我们不认为它们是连通的。只有两条路径在同一个牧区相交，我们才认为它们是连通的。 　　
　　
　　现在请你编程找出一条连接两个不同牧场的路径，使得连上这条路径后，这个更大的新牧场有最小的直径。
　　
【输入格式】
　 第 1 行：一个整数N (1 <= N <= 150), 表示牧区数； 　 第 2 到 N+1 行：每行两个整数X，Y ( 0 <= X，Y<= 100000 )， 表示N个牧区的坐标。每个牧区的坐标都是不一样的。 　 第 N+2 行到第 2N+1 行：每行包括N个数字 ( 0或1 ) 表示一个对称邻接矩阵。 　
　 例如，题目描述中的两个牧场的矩阵描述如下： 　　　　　　
　 A B C D E F G H 　　　　　
A 0 1 0 0 0 0 0 0 　　　　　
B 1 0 1 1 1 0 0 0 　　　　　
C 0 1 0 0 1 0 0 0 　　　　　
D 0 1 0 0 1 0 0 0 　　　　　
E 0 1 1 1 0 0 0 0 　　　　　
F 0 0 0 0 0 0 1 0 　　　　　
G 0 0 0 0 0 1 0 1 　　　　　
H 0 0 0 0 0 0 1 0

输入数据中至少包括两个不连通的牧区。

【输出格式】
　 只有一行，包括一个实数，表示所求答案。数字保留六位小数。

【输入样例】
　 8
　 10 10
　 15 10
　 20 10
　 15 15
　 20 15
　 30 15
　 25 10
　 30 10
　 01000000
　 10111000
　 01001000
　 01001000
　 01110000
　 00000010
　 00000101
　 00000010
　
【输出样例】
　 22.071068
　
【算法分析】
　 用Floyed求出任两点间的最短路，然后求出每个点到所有可达的点的最大距离，记做mdis[i]。（Floyed算法）
　 r1=max(mdis[i])
　 然后枚举不连通的两点i,j，把他们连通，则新的直径是mdis[i]+mdis[j]+(i,j)间的距离。
　 r2=min(mdis[i]+mdis[j]+dis[i,j])
　 re=max(r1,r2)
　 re就是所求。
　
【参考程序】

#include
#include
#include 
using namespace std;
double f[151][151],m[151],minx,r,temp,x[151],y[151],maxint=1e12;
double dist(int i,int j)
{
  return sqrt((x[i]-x[j])*(x[i]-x[j])+(y[i]-y[j])*(y[i]-y[j])) ;  
}
int main()
{ int i,j,n,k;char c;
  cin>>n;
  for(i=1;i<=n;i++)cin>>x[i]>>y[i];
  for(i=1;i<=n;i++)
   for(j=1;j<=n;j++)
    { cin>>c;
      if(c=='1')f[i][j]=dist(i,j);
           else f[i][j]=maxint;
    }
  for(k=1;k<=n;k++)
    for(i=1;i<=n;i++)
      for(j=1;j<=n;j++)
        if(i!=j&&i!=k&&j!=k)
           if(f[i][k]<maxint-1&&f[k][j]<maxint-1)
              if(f[i][j]>f[i][k]+f[k][j])
                f[i][j]=f[i][k]+f[k][j];
   memset(m,0,sizeof(m));
   for(i=1;i<=n;i++)
    for(j=1;j<=n;j++)
     if(f[i][j]<maxint-1&&m[i]<f[i][j])m[i]=f[i][j]; 
   minx=1e20;
  for(i=1;i<=n;i++)
   for(j=1;j<=n;j++)
    if(i!=j&&f[i][j]>maxint-1)
     {temp=dist(i,j);
      if(minx>m[i]+m[j]+temp)minx=m[i]+m[j]+temp;
     }
  r=0;
  for(i=1;i<=n;i++)if (m[i]>minx)minx=m[i];
  printf("%.6lf",minx);
  return 0;
}