矩阵加速递推

设$A$为$n\ast s$的矩阵$B$为$s\ast m$的矩阵，则$A\ast B$的结果$C$为$n\ast m$的矩阵。
给出矩阵乘法的公式： $C_{ij}={\sum }_{k=1}^s{A}_{ik}{B}_{kj}$ ，其中$i$表示行，$j$表示列。
简单来说，$C$矩阵中的第$i$行第$j$列由$A$矩阵的第$i$行和$B$矩阵的第$j$列对应相乘得到。
因此，对于许多递推问题，我们可以构建转移矩阵来将递推转移到下一步的状态。

例题(洛谷P1939):

题目描述
a[1]=a[2]=a[3]=1
a[x]=a[x-3]+a[x-1] (x>3)
求a数列的第n项对1000000007（10^9+7）取余的值

输入格式
第一行一个整数T，表示询问个数。
以下T行，每行一个正整数n

输出格式
每行输出一个非负整数表示答案

说明
对于100%的数据 T<=100，n<=2*10^9

在这道题中，由于n的范围非常大，暴力递推无论是时间还是空间都不过关，这时我们就可以选择使用矩阵加速递推来完成题目

首先，题目中的递推公式为$a[1]=a[2]=a[3]=1，a[x]=a[x-3]+a[x-1](x>3)$
则可见，当$n<=3$时，我们不需要计算，可以直接输出（不要遗忘这一类的边界情况）

而当$n>3$时，我们就只能用递推公式来计算。当$n$的值非常大时，暴力递推不能在时限内完成计算，因此我们考虑构建转移矩阵，使得
$$\left[\begin{array}{c}a[n]\\ a[n-1]\\ a[n-2]\end{array}\right]=(转移矩阵)\ast \left[\begin{array}{c}a[n-1]\\ a[n-2]\\ a[n-3]\end{array}\right]$$
根据矩阵乘法的定义和已知递推公式（计算规律），我们可以得到这样的转移矩阵：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$$
所以有$$\left[\begin{array}{c}a[n]\\ a[n-1]\\ a[n-2]\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}a[n-1]\\ a[n-2]\\ a[n-3]\end{array}\right]$$
由于矩阵具有结合性，因此可以使用快速幂的思想加速计算，将时间复杂度从$O(n)$降到$O(nlogn)$，同时，由于矩阵快速幂的对象是方阵，我们可以将两个$1\ast 3$的方阵补“0”得到$3\ast 3$的方阵，这样并不影响我们所需求的计算结果，这样操作，就有：$$\left[\begin{array}{ccc}a[n]& 0& 0\\ a[n-1]& 0& 0\\ a[n-2]& 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{ccc}a[n-1]& 0& 0\\ a[n-2]& 0& 0\\ a[n-3]& 0& 0\end{array}\right]$$
热后就可以用矩阵快速幂快速求解了。

需要注意的是，求$a[n]$时，转移矩阵只有$n-1$次幂(与等比数列中$a[n]=a[1]\ast q^{n-1}$的$n-1$同理)，为了方便快速幂计算，我们仍求$n$次幂，输出时输出所需的结果即可。(也就是说输出的结果不一定总是$ans[1][1]$)

例题代码：

#include
#include
#define ll long long
using namespace std;
const int p=1e9+7;
ll t,n;
struct mat{
	ll a[4][4];
	mat() {memset(a,0,sizeof(a));}
	inline void build()
	{a[1][1]=a[2][2]=a[3][3]=1;}
	inline void cm()
	{a[1][1]=a[2][1]=a[3][2]=a[1][3]=1;}
};
mat operator*(const mat &a,const mat &b)
{
	mat c;
	for(int k=1;k<=3;k++)
		for(int i=1;i<=3;i++)
			for(int j=1;j<=3;j++)
				c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j]%p)%p;
	return c;
}
int main()
{
	scanf("%lld",&t);
	for(int i=1;i<=t;i++)
	{
		scanf("%lld",&n);
		if(n<=3) {printf("1\n");continue;}
		mat a;
		a.cm();
		mat ans;
		ans.build();
		while(n)
		{
			if(n&1) ans=ans*a;
			a=a*a;
			n>>=1;
		}
		printf("%lld\n",ans.a[2][1]);
	}
	return 0;
}