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Lindström–Gessel–Viennot lemma

(摘自知乎）

Lindström–Gessel–Viennot lemma（Lindström-Gessel-Viennot lemma这里有详细介绍跟证明）

在一个有向无环图里，想要计算从n个起点 到n个终点 的n条互不相交的路径的数量（具体说是其生成函数），只要符合一定条件，就有个非常漂亮的形式表达出来。具体来说是下面一个矩阵M的行列式

{\displaystyle M={\begin{pmatrix}e(a_{1},b_{1})&e(a_{1},b_{2})&\cdots &e(a_{1},b_{n})\\e(a_{2},b_{1})&e(a_{2},b_{2})&\cdots &e(a_{2},b_{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\e(a_{n},b_{1})&e(a_{n},b_{2})&\cdots &e(a_{n},b_{n})\end{pmatrix}}}

其中 是从第i个起点到第j个终点的生成函数。

这里最神奇的一点是为什么结果是一个行列式。这个矩阵从线性空间的角度看完全没有意义，而实际证明过程中也完全是以组合形式证明的，结果刚好用行列式能表达出来。

证明过程用到另一个技巧，就是想证一个集合的生成函数为零是时构造一个involution，这个involution能使整个结果变号，然后整个集合就分成两部分互相抵消。不过这个方法太宽泛，在不同问题里的变招太多，很难说是一个“技巧”。



作者：caleb89
链接：https://www.zhihu.com/question/59374288/answer/171857396
来源：知乎
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

转载于:https://www.cnblogs.com/qq1028152659/p/9347726.html

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