进制及其互相转换-通俗易懂

常用进制

在计算机应用过程中，我们比较长接触的就是2、8、10、16进制的进制规格。2进制毫无疑问是逻辑元件0，1特性决定计算机体系必将用2进制构建，10进制则是从日常生活（双手手指数）中引入。大家对2进制和10进制都不会太陌生，那么8进制和16进制是从何而来呢？在计算机体系中早期引入8、16进制其实是为了方便操作人员更好的读取运算信息。

八进制广泛应用于计算机系统，如PDP-8，ICL 1900和IBM大型机使用12位、24位或36位。八进制是这些基础，因为他们的最理想的二进制字缩写大小能被3整除(每个八进制数字代表三个二进制数字)。四、八到十二个数字可以简明地显示整个机器。它也降低成本使得数字允许通过数码管，七段显示器，和计算器用于操作员控制台，他们在二进制显示使用过于复杂，然而十进制显示需要复杂的硬件，十六进制显示需要显示更多的数字。
然而,所有现代计算平台使用16 - 32位，或者64位，如果使用64位，将进一步划分为八位字节。这种系统三个八进制数字就能满足每字节需要，与最重要的八进制数字代表两个二进制数字(+ 1为下一个字节,如果有的话)。16位字的八进制表示需要6位数,但最重要的八进制数字代表(通过)只有一个(0或1)。这表示无法提供容易阅读的字节，因为它是在4位八进制数字。

进制转换

二进制与十进制的互换

纯小数、纯整数和特殊分数

纯整数

正规做法：除二取余法，将10进制数字除以2，所得余数（0或1）即为对应二进制数最低位的值。然后对上次所得商继续除以2，所得余数即为二进制数次低位的值，如此反复，直到商等于0为止，最后得到的余数是所求二进制数最高位的值。
除二取余法最大的缺点就是对处理大数不友好，比如将十进制666转化为二进制，想想要除多少步！
这里谈一下我日常使用的比较快速的转换方法：逆向转化法（利用二进制转10进制思路，逆向推导），例：666=512+128+16+8+2=2⁹+2⁷+2⁴+2³+2¹=1010011010

纯小数部分

正规做法：乘二取整法，其规则如下：将十进制数乘以2，所得乘积的整数部分即为对应二进制小数最高位的值，然后对所剩余的小数部分再乘以2，所得乘积的整数部分为次高位的值，如此反复，直到乘积的小数部分为0或结果已满足所需精度要求为止。
几个特殊的小数：
$$0.5=\frac{1}{2}=\frac{1}{2^1}=2^{-1}=(0.1{)}_2$$
$$0.25=\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2}=2^{-2}=(0.01{)}_2$$
$$0.125=\frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}=2^{-3}=(0.001{)}_2$$

特殊分数：
十进制导入 $$\frac{3}{100}=\frac{3}{10^2}=3X10^{-2}=(0.03{)}_{10}$$
二进制同理：
$$\frac{7}{16}=\frac{7}{2^4}=7X{2}^{-4}=(111{)}_{2}X{2}^{-4}=(0.0111{)}_2$$

二进制与八进制相互转换

二进制转八进制

以小数为界，在确保数值大小不变的前提下，左、右分别补齐三的整数倍数，然后从左往右每三位一组转为相应的八进制数。

八进制转二进制

一位转三位，最后去掉整数高位和小数低位无效的0。

二进制与十六进制相互转换

二进制转十六进制

以小数为界，在确保数值大小不变的前提下，左、右分别补齐四的整数倍数，然后从左往右每四位一组转为相应的十六进制数。

八进制转二进制

一位转四位，最后去掉整数高位和小数低位无效的0。