傅里叶分析不仅是数学工具，更颠覆世界观的思维模式。
一、什么是频域
时域分析：出生，以时间贯穿，股票的走势、人的身高、随着时间变。
频域：静止的世界，世界是永恒不变的
音乐在时域的样子：时间变化的震动
频域：乐器小能手直观的理解：
傅里叶同学：任何周期函数，可以作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加，组合出任何一首乐曲。
傅里叶分析：贯穿时域与频域的方法之一，分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换(Fourier Transformation)
二、傅里叶级数(Fourier Series)的频谱
（1）正弦波 cos（x）
（2）正弦波的叠加 cos (x) +a.cos (3x)
（3）发春的正弦波的叠加
（4）10 个正弦波的叠加
上升的部分：变陡，中间下降的部分：变平。无穷多个叠加变 90 度矩形，换一个角度看：
不同颜色正弦波：矩形波的各个分量，频率分量。频率从低到高从前向后。一定有细心的读者发现了，
每两个之间有直线：0振幅正弦波，为了组成特殊的曲线，有些正弦波成分是不需要的？
关键：
最低的频率分量看作“1”（基本单元）
有理数轴，数字“1”就是基本单元。数学称法为——基
时域基本单元：“1秒”，如果将一个角频率为W0的正弦波cos（W0t）看作基础，那么频域的基本单元就是W0.
有了“1”，还要有“0”才能构成世界: 频域的“0”：cos（0t）周期无限长的正弦波（一条直线）
在频域中，0频率也被称为直流分量，傅里叶级数叠加中：波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。
正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆
想看动图的同学请戳这里：
File:Fourier series square wave circles animation.gif
频域里：矩形波
频谱中，偶数项的振幅都是0，对应彩色直线
老实说，在我学傅里叶变换时，维基的这个图还没有出现，那时我就想到了这种表达方法，而且，后面还会加入维基没有表示出来的另一个谱——相位谱。
世界就像皮影戏的大幕布，幕后无数的齿轮，大齿轮带动小齿轮，小齿轮再带动更小的。在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是我们自己。我们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演，却无法预测他下一步会去哪。而幕布后面的齿轮却永远一直那样不停的旋转，永不停歇。
三、傅里叶级数（Fourier Series）的相位谱
上一章：从侧面看。这一章：从下面看。
傅里叶分析是干什么用的？
(1)频道（广播、电视）：频率的通道，将不同的频率作为通道来信息传输。
把sin（5x）给我从图里拿出去，不可能做到。
频域：简单的很，几条竖线而已。so需要傅里叶变换
ps:从曲线中去除一些特定的频率成分，称为滤波(信号处理)，频域才能做到。
(2)解微分方程。
通过时域到频域的变换，我们得到了一个从侧面看的频谱，但是这个频谱并没有包含时域中全部的信息。因为频谱只代表每一个对应的正弦波的振幅是多少，而没有提到相位。基础的正弦波A.sin(wt+θ)中，振幅，频率，相位缺一不可，不同相位决定了波的位置
正弦波是周期的，小红点：正弦波位置、距离频率轴最近的波峰，粉点：波峰距离频率轴的距离，不是相位
相位差：时间差在一个周期中所占的比例（如果将全部周期看作2Pi或360度的话），相位差 = (时间差/周期)*2Pi
相位谱中的相位除了0，就是Pi。因为cos（t+Pi）=-cos（t），所以实际上相位为Pi的波只是上下翻转了而已。对于周期方波的傅里叶级数，这样的相位谱已经是很简单的了。另外值得注意的是，由于cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是周期的，pi和3pi，5pi，7pi都是相同的相位。人为定义相位谱的值域为(-pi，pi]，所以图中的相位差均为Pi。
四、傅里叶变换（Fourier Tranformation）
公式错误：
傅里叶级数的本质：周期的信号分解成无限多分开的（离散的）正弦波，宇宙似不是周期
数字信号处理的时候写过一首打油诗：
往昔连续非周期，
回忆周期不连续，
任你ZT、DFT，
还原不回去。
往昔是一个连续的非周期信号，回忆是一个周期离散信号。
比如傅里叶级数，时域：周期且连续的函数，频域：非周期离散的函数。第一章的图片。
时域非周期的连续信号，转换为一个在频域非周期的连续信号。
傅里叶变换：周期无限大的函数进行傅里叶变换。
连续谱：离散谱的叠加，变成了连续谱的累积。计算上也从求和符号变成了积分符号。
五、欧拉公式
虚数i：-1 的平方根，真正的意义：
红色的线段，长度是1。乘以 3 = 蓝色的线段，乘以-1 = 绿色的线段（原点旋转了 180 度）。
乘了两次 i 使线段旋转了 180 度，乘一次 i = 旋转了 90 度
乘虚数i = 旋转，欧拉公式：
这个公式在数学领域的意义要远大于傅里叶分析，但是乘它为宇宙第一耍帅公式是因为它的特殊形式——当x等于 Pi 的时候。
经常有理工科的学生为了跟妹子表现自己的学术功底，用这个公式来给妹子解释数学之美：”石榴姐你看，这个公式里既有自然底数e，自然数 1 和0，虚数i还有圆周率 pi，它是这么简洁，这么美丽啊！“但是姑娘们心里往往只有一句话：”臭屌丝……“
这个公式关键的作用，是将正弦波统一成了简单的指数形式。我们来看看图像上的涵义：
欧拉公式所描绘的，是一个随着时间变化，在复平面上做圆周运动的点，随着时间的改变，在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分，也就是螺旋线在左侧的投影，就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。
六、指数形式的傅里叶变换
有了欧拉公式的帮助，我们便知道：正弦波的叠加，也可以理解为螺旋线的叠加在实数空间的投影。而螺旋线的叠加如果用一个形象的栗子来理解是什么呢？
光波
高中时我们就学过，自然光是由不同颜色的光叠加而成的，而最著名的实验就是牛顿师傅的三棱镜实验：
所以其实我们在很早就接触到了光的频谱，只是并没有了解频谱更重要的意义。
但不同的是，傅里叶变换出来的频谱不仅仅是可见光这样频率范围有限的叠加，而是频率从 0 到无穷所有频率的组合。
这里，我们可以用两种方法来理解正弦波：
第一种前面已经讲过了，就是螺旋线在实轴的投影。
另一种需要借助欧拉公式的另一种形式去理解：
将以上两式相加再除2，得到：
这个式子可以怎么理解呢？
我们刚才讲过，e^(it)可以理解为一条逆时针旋转的螺旋线，那么e^(-it)则可以理解为一条顺时针旋转的螺旋线。而 cos (t)则是这两条旋转方向不同的螺旋线叠加的一半，因为这两条螺旋线的虚数部分相互抵消掉了！
举个例子的话，就是极化方向不同的两束光波，磁场抵消，电场加倍。
这里，逆时针旋转的我们称为正频率，而顺时针旋转的我们称为负频率（注意不是复频率）。
好了，刚才我们已经看到了大海——连续的傅里叶变换频谱，现在想一想，连续的螺旋线会是什么样子：
仅展示了正频率的部分
每一条螺旋线都有着不同的振幅（旋转半径），频率（旋转周期）以及相位。将所有螺旋线连成平面
