高数（上）学习（1.1）——函数及其性质（中学复习篇）
1.1.1 集合
集合：具有某种特定性质事物的全体称为集合。
元素：组成这个集合的事物称为该集合的元素。
集合与元素的关系：属于∈，不属于∉。
不含任何元素的集合称为空集，记作∅。
集合的表示方法：列举法，描述法。
- 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素。
- 描述法：M={ x | x所具有的特征 }
补充：两个整数互质（或互素）是指它们没有大于1的整数因子。
1.1.2 集合的运算
基本运算：并、交、差。
并集：A U B = { x | x∈A 或 x∈B }
交集：A ∩ B = { x | x∈A 且 x∈B }
差集：A \ B = { x | x∈A 且 x∉B }
全集\基本集：研究的问题所限定的大集合。
余集\补集：I - A或者AC 。
运算规律：交换律、结合律、分配律、对偶律、幂等律、吸收律。
1.1.3 区间与领域
有限区间：开区间(a,b) 闭区间[a,b] 半开区间[a,b) (a,b]。b-a：区间长度
无限区间：开区间(a,+∞) (-∞,a) -∞,+∞) 半开区间[a,+∞) (-∞,a]
邻域：以点x0为中心的任何开区间称为点x0的邻域，记作U(x0)。若δ是某一正数，则开区间(x0-δ,x0+δ)是点x0的一个邻域，记作U(x0,δ)。
去心邻域：将点x0去掉后的x0的邻域，记作
左邻域：(x0-δ,x0)
右邻域：(x0,x0+δ)
1.1.4 映射
X，Y是两个非空集合，存在一个法则f，使得对X中的每个元素x，按法则f在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为X到Y的一个映射。
定义域D(f)，值域R(f)或f(X)。
满射:
非满射：
单射：f(x1) ≠ f(x2)
在函数图像中，一个y值对应一个x值。
一 一映射：满射+单射
单射很重要：
- 每一个单射都可诱导一个双映射。
- 每一个单射也可以诱导一个逆映射。
泛函、变换、函数
逆映射：g:R(f) -> X (f是单射，y = f(x)，则 x = g(y))
复合映射：g:X->Y1,f:Y2->Z,Y1包含于Y2, f g:X->Z。
1.1.5 函数
D是实数集，称f:D->R为定义在D上的函数。y = f(x),x∈D。y是因变量，x是自变量，D称为定义域。\
1.1.6 几个分段函数
绝对值函数：
符号函数：
取整函数：向上取整、向下取整、向零取整
1.1.7 函数的三要素
（1）定义域
考点1：定义域（分母不为0、根号里非负数、真数大于0）
考点2：整体法求定义域
考点3：判断两个函数是否是同一函数
（2）函数关系
（3）值域
1.1.8 函数的特性
（1）函数的有界性
X包含于D，若存在M使得f(x) <= M，则称f(x)在X上有上界，类似可得下界的定义。数M使得|f(x)| <= M（x∈X），则称f(x)在X上有界。
注意：在求复合函数的时候，外函数有界，复合函数必有界。
（2）函数的单调性
区间I包含于D，若对于I上的任意两点x1,x2，当x1
（3）函数的奇偶性
定义域D关于原点对称，即若x∈D，则-x∈D。
若对任意的x∈D，都有f(x) = -f(-x)，则称为奇函数；若对任意的x∈D，都有f(x) = f(-x)，则称为偶函数。
偶函数：f(-x)=f(x)图像关于y轴对称
奇函数：f(-x)=-f(x)图像关于原点对称
（4）函数的周期性
定义域D，若存在一个整数T，使得对任意x∈D，有(x+-T)∈D，且恒成立，则称f(x)为周期函数。
f(x+T)=f(x),周期函数
1.1.9 反函数和复合函数
函数f:D->f(D)是单射，存在逆映射f-1:f(D)->D，称此映射为函数f的反函数。
若f是单调函数，则必存在反函数，且反函数也是单调函数。
一个函数有反函数的条件：它是一个单映射。
y=f(u),D(f),R(f) u=g(x) D(g),R(g) R(g)包含于D(f)，复合映射确定的函数为复合函数。
1.1.10 函数的四则运算
和（差）f +- g：（f +- g）(x) = f(x) +- g(x)，x∈D；
积 f * g：（f * g）(x) = f(x) * g(x)，x∈D；
商 f / g：（f / g）(x) = f(x) / g(x)，x∈D \ { x | g(x) = 0, x∈D }；
1.1.11 初等函数
幂函数、质数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、反双曲正弦、反双曲余弦、反双曲正切等。
不常见初等函数：
附常见基本初等函数：
