算法日记本 | LeetCode 4. 寻找两个有序数组的中位数

题目描述

给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2。

请你找出这两个有序数组的中位数，并且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。

你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。

示例 1:

nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]

则中位数是 2.0

示例 2:

nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]

则中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5

分析解答

题目中明确要求时间复杂度为O(log(m + n))，这其实也提醒我们可以用类似二分法的操作来解决这个问题。直接求解中位数似乎有点无从下手，不妨先举些实例分析看看，通过对具体实例的细致分析可以帮助我们更好地理解目标。如果两个数组的总长度是9，那么中位数就是两个数组中第5小的数，如果长度为10，那么中位数就是两个数组中第5小的数和第6小的数的平均。因此，我们不妨把问题转换成求两个数组中第k小的数，如果这个问题解决了，那么求中位数的问题也就解决了，而且两者的时间复杂度是一致的，因为最多只需要求两次第k小的数。

由于两个数组都是有序的，我们可以借用二分法的思路来求解第k小的数，关键点在于如何不断地减小的规模。我们可以从两个数组分别选出一个“代表”，比如第k/2个数，然后比较选出的两个数的大小，根据比较的结果就可以筛掉其中某个数组在k/2前面的数，从而将问题转化为一个规模更小的子问题。按照这种思路实现的解决方案如下：

class Solution(object):
    def findMedianSortedArrays(self, nums1, nums2):
        """
        :type nums1: List[int]
        :type nums2: List[int]
        :rtype: float
        """
        m = len(nums1)
        n = len(nums2)
        total = m + n
        if total % 2:
            return self.findKth(nums1, m, nums2, n, total // 2 + 1)
        else:
            return (self.findKth(nums1, m, nums2, n, total // 2)
                    + self.findKth(nums1, m, nums2, n, total // 2 + 1)) / 2

    def findKth(self, nums1, m, nums2, n, k):
        # 保证A数组的大小不大于B数组 简化后面的逻辑判断
        if m > n:
            return self.findKth(nums2, n, nums1, m, k)

        # 数组A为空 直接返回数组B第k小的数
        if m == 0:
            return nums2[k - 1]

        # k等于1时终止递归 防止数组A下标越界
        if k == 1:
            return min(nums1[0], nums2[0])

        pa = min(k // 2, m)  # 取min是防止访问数组A时下标越界
        pb = k - pa

        if nums1[pa - 1] < nums2[pb - 1]:
            return self.findKth(nums1[pa:], m - pa, nums2, n, k - pa)
        elif nums1[pa - 1] > nums2[pb - 1]:
            return self.findKth(nums1, m, nums2[pb:], n - pb, k - pb)
        else:
            return nums1[pa - 1]

其中findKth就是我们上述的用于查找第k小的数的函数。我们可以通过一个具体的例子来理解代码。假设：

nums1 = [1, 3, 7]
nums2 = [2, 6, 9, 14]
k = 5

现在我们需要找到nums1和nums2中第5小的数，怎么办呢？我们可以选出nums1中第2小的数3和nums2中第3小的数9作为两个数组的“代表”，由于3 < 9，因此可以确定包括3在内的nums1的前2个数是两个数组中最小的5个数之2，那么我们可以将这些数过滤掉，然后求解在剩余的数组中第3小的数即可。对于其他情况也是同样的方法来判断。

代码中有几个小细节值得注意。一是提前判断两个数组的大小，这样我们可以认为数组1长度总是不大于数组2，简化后面的代码。而是k==1的判断，如果不做判断，由于Python中支持负数索引，所以可能导致产生错误的递归。最后，如果两个“代表”的值相等，说明他们俩都是两个数组中第k小的数，可以直接返回。

提交代码，测试通过，击败了100%的用户，说明这种类二分的方法性能还是很不错的。

今天就分享到这里啦，我们回头见！

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感谢您的阅读，祝您生活愉快！

作者：小美哥
2019-04-05