[LeetCode 35] 搜索插入位置（Python+二分查找问题总结）

题目描述

给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。
你可以假设数组中无重复元素。

示例 1:

输入: [1,3,5,6], 5
输出: 2

示例 2:

输入: [1,3,5,6], 2
输出: 1

题目链接：
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/search-insert-position

解题思路

二分查找

最后的目标：在一个有序数组中找第一个大于等于 $\text{target}$ 的下标。

问题转化到这里，直接套用二分法即可，即不断用二分法逼近查找第一个大于等于 $\text{target}$ 的下标 。

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(\log n)$，其中 $n$ 为数组的长度。二分查找所需的时间复杂度为 $O(\log n)$。

• 空间复杂度：$O(1)$。我们只需要常数空间存放若干变量。

代码实现

class Solution(object):
    def searchInsert(self, nums, target):
        n = len(nums)
        if target > nums[-1]:
            return n
        left, right = 0, n-1
        ans = -1
        while left <= right:
            mid = (left + right) // 2
            if target <= nums[mid]:
                right = mid - 1
                ans = mid
            else:
                left = mid + 1
        return ans

Tips

• 二分查找的思想:
  减而治之，即将大规模问题转化成小规模问题。减而治之是分而治之的特例，将大问题划分成若干个子问题以后，最终答案只在其中一个子问题里。

• 如何避免死循环（重难点）?
  根据 mid 被分到左边区间还是右边区间，代码写出来只有以下 2 种：
  边界收缩行为 1： mid 被分到左边。即区间被分成 [left, mid] 与 [mid + 1, right]，这里用「闭区间」表示区间端点可以取到。
  边界收缩行为 2： mid 被分到右边。即区间被分成 [left, mid - 1] 与 [mid, right]。

  面对上面的边界收缩行为 2（mid 被分到右边），在待搜索区间收缩到只剩下 2 个元素的时候，就有可能造成死循环。搜索区间不能缩小，是造成死循环的原因。
  所以要把上面「边界收缩行为」对应的中间数取法补上。
  

  边界收缩行为 1： mid 被分到左边。即区间被分成 [left, mid] 与 [mid + 1, right]，此时取中间数的时候下取整。
  mid = left + (right - left) / 2
  边界收缩行为 2： mid 被分到右边。即区间被分成 [left, mid - 1] 与 [mid, right]，此时取中间数的时候上取整。
  mid = left + (right - left + 1) / 2

  记住下面这条规则：在 if else 语句里面只要出现 left = mid 的时候，把去中间数行为改成上取整即可。
  
  参考链接：
  LeetCode上的一个很优秀的题解+总结

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$$Author:Chier$$