第四讲图：最短路径两种经典算法学习总结1

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1.迪杰斯特拉（Dijkstra）算法

我们结合图片与代码讲解：

如上图求最短路径…
有没有人跟我一样第一反应就是用最笨的方法一条路一条路的计算。
很明显这样子是非常浪费时间的，而且运算量对我带说很大。

迪杰斯特拉算法拯救了我（虽然一开始看得非常头大）

迪杰斯特拉算法其核心是：走一步看一步，一步一步的来（31~38行），从而得到最短路径；也实现了源点到所有点的最短路径。

1.const int INF = 1e6;
2.const int N = 1e3;
3.
4.void dijkstra(int n, int mp[N][N], p[N], s[N])	// n代表顶点个数；mp 代表存储着所有点到所有点的邻接矩阵 
5.{												// p 存储着该下标位置的前缀（如p[1] = 0 即为0 -> 1）
6.												// s 为 shortes_path 简写，代表源点到所有点的最短距离 
7.	int i, j, k, min; 							
8.	int judge[N] = {0}; // 判断该下标位置是否已存在最短路径
9.	
10.	for(i = 0; i < n; i++)							
11.	{
12.		s[i] = mp[0][i]; // 初始化最短距离为源点到该点的直接路径长度 
13.		p[i] = 0; // 初始化各点前缀为源点 
14.	}
15.	
16.	s[0] = 0; // 0到0距离为0 
17.	judge[0] = 1; // 0到0已经有最短距离
18.	
19.	for(i = 1; i < n; i++)
20.	{
21.		min = INF;
22.		for(j = 1; j < n; j++)
23.		{
24.			if(!judge[j] && s[j] < min) //寻找此时与源点距离最小的点
25.			{
26.				min = s[j];
27.				k = j;
28.			}
29.		}
30.		judge[k] = 1;  //将此点标记为已拥有最短路径
31.		for(j = 1; j < n; j++)
32.		{								// 此处印证了走一步看一步思想，我们可以以此得到：
33.			if(min + mp[k][j] < s[j]) 	//与此时与源点最短距离点  *相邻的点*  **当前**  的最短路径
34.			{							//（注意是当前的最短距离，不一定是最终的）
35.				s[j] = min + mp[k][j];
36.				p[j] = k; //此时 k 与源点距离最短，则与 k 相邻的点的前缀为 k 
37.			}
38.		}
39.	}
40.}

我们来模拟一下代码：
p 初始化后：{ 0，0，0，0，0，0，0，0，0 }；
s 初始化后：{ INF，1，5，INF，INF，INF，INF，INF，INF}；-> { 0，1，5，INF，INF，INF，INF，INF，INF }；//经过第16行后
judge 初始化后：{ 0，0，0，0，0，0，0，0，0 }；-> { 1，0，0，0，0，0，0，0，0 }；//经过第17行后

进入第19行
找到第一个 min = s[ 1 ] = 1; k = 1;
如图：

更新 p ， s， judge
p { 0，0，0，0，0，0，0，0，0 }；-> { 0，0，1，1，1，0，0，0，0 }；
s { 0，1，5，INF，INF，INF，INF，INF，INF }； -> { 0，1，4，8，6，INF，INF，INF，INF }；
judge { 1，0，0，0，0，0，0，0，0 }；-> { 1，1，0，0，0，0，0，0，0 }；

接下来第二次
如图：

…持续更新 p ， s， judge；
最终求得 s 到所有点的最短距离（路径）