最短路问题（各种方法整理）附上一个完美模板
最短路问题（short-path problem），从某点出发到达另一点所经过的路径权值相加最小的一条路径，就是最短路径。
经典的也是最容易掌握的方法Floyd，Dijkstra两种算法。
1.Floyd算法
Floyd算法可以求解的是任意两点的最短路径，功能强大，因此复杂度也很高，但是非常的好懂。
思想很简单，两点的最短路径无非就是直接从一点到另一点，要么就是中间还存在着其他的点。因此只需要暴力枚举中间点，看看存不存在中间路径长度大于直接路径的长度即可。
给出模板（附带记录路径）
#include
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int G[105][105];
int n,m;//n边m点
int next[105][105];
void init()
{
cin>>n>>m;
for(int i=0; i<=n; i++)//初始化
{
for(int j=0; j<=n; j++)
{
if(i==j)
G[i][j]=G[j][i]=0;
else G[i][j]=G[j][i]=inf;
}
}
for(int i=0; i>x>>y>>w;
if(G[x][y]>w)//有些题目坑人给重复路径
G[x][y]=G[y][x]=w;
}
}
void printpath(){
int st=1,ed=n;
while(st!=ed){
cout<";
st=next[st][ed];
}
cout<G[i][k]+G[k][j])
{
G[i][j]=G[i][k]+G[k][j];
next[i][j]=next[i][k];
}
cout< 代码非常的简洁明了。是最容易弄懂的一个算法。但是复杂度偏高，针对有些题目没必要全部算出最短路，只需要算出单点的最短路。因此有时候复杂度会超限。
2.Dijkstra算法
说实话Dijkstra算法有点像最小生成树，也是开一个数组然后不断更新更新。
Dijkstra算法是先纳入起始点到点集合，然后dis[j]记录的是这个点集合到这个j这个点的距离。因此不断的去纳入新的点，去更新现有的距离。
给出一个带记录路径的模板
#include
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int G[105][105];
int n,m;//n边m点
bool vis[105];
int dis[105],pre[105];
void init()
{
cin>>n>>m;
for(int i=0; i<=n; i++)//初始化
{
for(int j=0; j<=n; j++)
{
if(i==j)
G[i][j]=G[j][i]=0;
else G[i][j]=G[j][i]=inf;
}
}
for(int i=0; i>x>>y>>w;
if(G[x][y]>w)//有些题目坑人给重复路径
G[x][y]=G[y][x]=w;
}
}
void printpath(int v){
int p=n,cnt=0;
int ans[105];
while(p!=v){
ans[cnt++]=p;
p=pre[p];
}
cout<=0;i--)
cout<<"->"<dis[j])
{
minnum=dis[j];
next=j;
}
}
if(minnum==inf)
break;
vis[next]=1;
for(int j=1; j<=n; j++) //更新这个操作点到其他点的距离
{
if(!vis[j] && G[next][j]!=inf && dis[next]+G[next][j] 3.Bellman-Ford算法
从百度上弄来的代码，很直观很好理解，对每条边，跑n-1次，每次松弛（妈的，什么叫松弛！？其实就是判断纳入这条边之后对最短路有没有影响，在具体点就是这行代码
dis[edge[j].v] > dis[edge[j].u] + edge[j].cost另spfa是该算法的队列优化
#include
using namespace std;
#define MAX 0x3f3f3f3f
#define N 1010
int nodenum, edgenum, original; //点，边，起点
struct Edge //边
{
int u, v;
int cost;
};
Edge edge[N];
int dis[N], pre[N];//dis是起点到这个点的最短路，pre存路径
bool Bellman_Ford()
{
for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //初始化
dis[i] = (i == original ? 0 : MAX);
for(int i = 1; i <= nodenum - 1; ++i)//跑这么多次
for(int j = 1; j <= edgenum; ++j)//每次跑所有的边
if(dis[edge[j].v] > dis[edge[j].u] + edge[j].cost) //松弛（顺序一定不能反~）
{
dis[edge[j].v] = dis[edge[j].u] + edge[j].cost;
pre[edge[j].v] = edge[j].u;
}
bool flag = 1; //判断是否含有负权回路
for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)//检验最短路中是否存在负权
if(dis[edge[i].v] > dis[edge[i].u] + edge[i].cost)
{
flag = 0;
break;
}
return flag;
}
void print_path(int root) //打印最短路的路径（反向）
{
while(root != pre[root]) //前驱
{
printf("%d-->", root);
root = pre[root];
}
if(root == pre[root])
printf("%d\n", root);
}
int main()
{
scanf("%d%d%d", &nodenum, &edgenum, &original);//点，边，起点
pre[original] = original;
for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)
{
scanf("%d%d%d", &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].cost);
}
if(Bellman_Ford())
for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //起点到每个点最短路
{
printf("%d\n", dis[i]);
printf("Path:");
print_path(i);
}
else
printf("have negative circle\n");
return 0;
}
根据pat考试中L2-001题目整理的完美模板，包含一切
#include
using namespace std;
#define inf 0x3f3f3f3f
int n,m,st,ed;
int num[505],vis[505],dis[505],pre[505],sum[505],cnt[505];
//每个节点的人数。是否走过。最短距离。前驱。最大救援人数数量.方案数
int G[505][505];//图
void path(int i){
if(pre[i]!=-1){
path(pre[i]);
cout<>n>>m>>st>>ed;
for(int i=0;i>num[i];
for(int i=0;i>x>>y>>w;
G[x][y]=G[y][x]=w;
}
memset(dis,inf,sizeof(dis));
memset(vis,0,sizeof(vis));
memset(cnt,0,sizeof(cnt));
memset(sum,0,sizeof(sum));
memset(pre,-1,sizeof(pre));
dis[st]=0;
vis[st]=1;
cnt[st]=1;
sum[st]=num[st];
for(int i=0;idis[j]){
minnum=dis[j];
next=j;
}
}
vis[next]=1;
for(int j=0;jdis[next]+G[next][j]){
dis[j]=dis[next]+G[next][j];
sum[j]=num[j]+sum[next];
cnt[j]=cnt[next];
pre[j]=next;
}
else if(dis[j]==dis[next]+G[next][j]){
cnt[j]=cnt[next]+cnt[j];
if(sum[j]