0/0型极限（等价无穷小）

题目1：求 ${\lim }_{x\to 0}\frac{sin3x+e^x-1}{x}$

答案：

${\lim }_{x\to 0}\frac{sin3x+e^x-1}{x}$

$={\lim }_{x\to 0}\frac{3x+x}{x}$

$=4$

题目2：求 $li{m}_{x\to 0}\frac{e^{x^2}-cosx}{xln(1+x)}$

答案：

${\lim }_{x\to 0}\frac{e^{x^2}-cosx}{xln(1+x)}$

$={\lim }_{x\to 0}\frac{e^{x^2}-cosx}{x^2}$

$={\lim }_{x\to 0}\frac{(e^{x^2}-1)+(1-cosx)}{x^2}$

$={\lim }_{x\to 0}\frac{x^2+\frac{1}{2}{x}^2}{x^2}$

$=\frac{3}{2}$

题目3：求 ${\lim }_{x\to 0}\frac{x-sinx}{x^3}$

分析：

这道题可否像题目1，题目2一样，使用等价无穷项，把sinx替换为x，求得结果为0呢？答案是不行的！为什么有时候可以用等价无穷小，有时候又不行呢？

当计算 $\frac{0}{0}$ 型极限时，想使用等价无穷小替换分子（分母）某一项，需要遵循以下规定：

1. 如果分子（分母）为一些项乘积的形式，那么可以随便使用等价无穷小替换其中任意项。
2. 如果分子（分母）为一些项求和的形式，那么当你想替换的项，其无穷小的阶数大于等于分母（分子）中最高的无穷小阶数，就可以替换，否则不行。

题目1和题目2都遵循了上述规定，这道题由于分子为两个1阶无穷小，分母为3阶无穷小，所以不能使用等价无穷小替换分子中的sinx。

这道题的正解是使用洛必达法则。