图论 —— 最短路 —— Bellman-Ford 算法与 SPFA

【概述】

Bellman-Ford算法适用于计算单源最短路径，即：只能计算起点只有一个的情况。

其最大特点是可以处理存在负边权的情况，但无法处理存在负权回路的情况。

其时间复杂度为：O(V*E)，其中，V 是顶点数，E 是边数。

【算法分析】

Bellman Ford 算法与 Dijkstra 算法的思想相同，只不过 Dijkstra 是每次确定一个最短距离点，并用这个点去更新与之相连的其他边，而 Ford 算法是每次更新所有的边，从而确定一个点的最短距离

起始时，认为起点是白点（dis[1]=0），每一次都枚举所有的边，必然会有一些边，连接着白点和蓝点。因此每次都能用所有的白点去修改所有的蓝点，每次循环也必然会有至少一个蓝点变成白点。

以下图为例

令起点为白点，即：dis[1]=0，dis[2、3、4、5]=∞

遍历所有边，将与白点相连的蓝点变为白点，即：dis[1]=0，dis[2]=2，dis[3]=1，dis[4]=2，dis[5] =∞

继续向下遍历，修改蓝点为白点，即：dis[1]=0，dis[2]=2，dis[3]=1，dis[4]=2，dis[5] =4

【算法核心】

设起点为 s，dis[v] 表示从 s 到 v 的最短路径，u[i] 和 v[i] 分别表示第 i 条边的起点和终点，w[j] 是连接 u、v 的边 j 的长度。

初始化：

dis[s]=0，dis[v]=0x3f3f3f3f（v≠s），即：初始化为一极大值

算法主体：

void Bellman_Ford()
{
    for(int i=0;i

算法结束：dis[v] 即为 s 到 v 最短距离

【SPFA】

SPFA 实质就是 Ford 算法加了判断负环的队列实现版本。

其利用队列以进行 Ford 算法的过程，初始时将起点加入队列，每次从队列中取出一个元素，并对所有与它相邻的点进行修改，若相邻的点修改成功，则将其入队，直到队列为空时算法结束。

SPFA 时间复杂度可达：O(k*E)，其中，E 是边数，k 是常数，平均值是 2。

int dis[N];
bool vis[N];
void SPFA(int S) {
    memset(vis, false, sizeof(vis));
    memset(dis, INF, sizeof(dis));
    dis[S] = 0;

    queue Q;
    Q.push(S);

    while (!Q.empty()) {
        int x = Q.front();
        Q.pop();
        vis[x] = false;
        for (int i = head[x]; i != -1; i = edge[i].next) {
            int to = edge[i].to;
            if (dis[to] > dis[x] + edge[i].dis) {
                dis[to] = dis[x] + edge[i].dis;
                if (!vis[to]) {
                    vis[to] = true;
                    Q.push(to);
                }
            }
        }
    }
}

【SPFA 的 SLF 优化】

在 SPFA 的基础上，可以进一步的进行优化，即 SLF 优化

SLF 优化就是 small label first 优化，由于先扩展最小的点可以尽量使程序尽早结束，因此当加入一个新点 u 的时候，如果此时的 dis[u] 比队首的 dis[q.front()] 小的话，就将点 v 加入队首，否则加入队尾，利用 STL 中的双端队列 deque 即可  

struct Edge{
    int to,dis;
};
vector edge[N];
bool vis[N];
int dis[N];
void SPFA(int s) {
    memset(dis, INF, sizeof(dis));
    memset(vis, false, sizeof(vis));
    vis[s] = true;
    dis[s] = 0;
    
    deque Q;
    Q.push_back(s);
    while (!Q.empty()) {
        int x = Q.front();
        Q.pop_front();
        vis[x] = 0;
        for (int i = 0; i < edge[x].size(); i++) {
            int y = edge[x][i].to;
            if (dis[y] > dis[x] + edge[x][i].to) {
                dis[y] = dis[x] + edge[x][i].to;
                if (!vis[y]) {
                    vis[y] = true;
                    if (!Q.empty() && dis[y] < dis[Q.front()])//加入队首
                        Q.push_front(y);
                    else//加入队尾
                        Q.push_back(y);
                }
            }
        }
    }
}

【模版】

1.标准版

struct Edge {
    int to, next;
    int dis;
} edge[N];
int head[N], tot;
bool vis[N];
int dis[N];
void addEdge(int x, int y, int dis) {
    edge[++tot].to = y;
    edge[tot].dis = dis;
    edge[tot].next = head[x];
    head[x] = tot;
}
void SPFA(int S) {
    memset(vis, false, sizeof(vis));
    memset(dis, INF, sizeof(dis));
    dis[S] = 0;

    queue Q;
    Q.push(S);

    while (!Q.empty()) {
        int x = Q.front();
        Q.pop();
        vis[x] = false;
        for (int i = head[x]; i != -1; i = edge[i].next) {
            int to = edge[i].to;
            if (dis[to] > dis[x] + edge[i].dis) {
                dis[to] = dis[x] + edge[i].dis;
                if (!vis[to]) {
                    vis[to] = true;
                    Q.push(to);
                }
            }
        }
    }
}
int main(){
    int n,m;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
        memset(head,-1,sizeof(head));
        for(int i=1;i<=m;i++){
            int x,y,dis;
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&dis);
            //无向图添边两次
            addEdge(x,y,dis);
            addEdge(y,x,dis);
        }
        int S;
        scanf("%d",&S);
        SPFA(S);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            printf("%d\n",dis[i]);
    }    
    return 0;
}

2.带负环判断的SPFA

struct Edge {
    int from, to;
    int dis;
    Edge() {}
    Edge(int from, int to, int dis) : from(from), to(to), dis(dis) {}
};
struct SPFA {
    int n, m;
    Edge edges[N]; //所有的边信息
    int head[N];   //每个节点邻接表的头
    int next[N];   //每个点的下一条边
    int pre[N];    //最短路中的上一条弧
    bool vis[N];
    int dis[N];
    int cnt[N]; //进队次数

    void init(int n) {
        this->n = n;
        this->m = 0;
        memset(head, -1, sizeof(head));
    }

    void AddEdge(int from, int to, int dist) {
        edges[m] = Edge(from, to, dist);
        next[m] = head[from];
        head[from] = m++;
    }

    bool negativeCycle(int s) { //判负环
        memset(vis, false, sizeof(vis));
        memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
        memset(dis, INF, sizeof(dis));
        dis[s] = 0;

        queue Q;
        Q.push(s);

        while (!Q.empty()) {
            int x = Q.front();
            Q.pop();
            vis[x] = false;
            for (int i = head[x]; i != -1; i = next[i]) {
                Edge &e = edges[i];
                if (dis[e.to] > dis[x] + e.dis) {
                    dis[e.to] = dis[x] + e.dis;
                    pre[e.to] = i;
                    if (!vis[e.to]) {
                        vis[e.to] = true;
                        Q.push(e.to);
                        if (++cnt[e.to] > n)
                            return true;
                    }
                }
            }
        }
        return false;
    }
} spfa;
int main() {
    int n, m;
    while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) {
        spfa.init(n);
        int S;
        scanf("%d", &S);
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            int x, y, dis;
            scanf("%d%d%d", &x, &y, &dis);
            //无向边添边两次
            spfa.AddEdge(x, y, dis);
            spfa.AddEdge(y, x, dis);
        }
        spfa.negativeCycle(S);
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            printf("%d\n", spfa.dis[i]);
    }
    return 0;
}