深度学习中7种最优化算法的可视化与理解
在深度学习中，有很多种优化算法，这些算法需要在极高维度（通常参数有数百万个以上）也即数百万维的空间进行梯度下降，从最开始的初始点开始，寻找最优化的参数，通常这一过程可能会遇到多种的情况，诸如：
1.提前遇到局部最小值从而卡住，再也找不到全局最小值了
2.遇到极为平坦的地方：“平原”，在这里梯度极小，经过多次迭代也无法离开。同理，鞍点也是一样的，在鞍点处，各方向的梯度极小，尽管沿着某一个方向稍微走一下就能离开。
3.“悬崖”，某个方向上参数的梯度可能突然变得奇大无比，在这个地方，梯度可能会造成难以预估的后果，可能让已经收敛的参数突然跑到极远地方去。
为了可视化&更好的理解这些优化算法，我首先拼出了一个很变态的一维函数：
其导数具有很简单的形式
具体长得像：
算法1：纯粹的梯度下降法
该算法很简单，表述如下：
首先给出学习率lr，初始x
while True：
x = x - lr*df/dx
根据学习率的不同，可以看到不同的效果。学习率过小，卡在局部极小值，学习率过大，压根不收敛。
梯度下降法
算法2：梯度下降法+动量
算法在纯粹的梯度下降法之上，外加了梯度，从而记录下了历史的梯度情况，从而减轻了卡在局部最小值的危险，在梯度=0的地方仍然会有一定的v剩余，从而在最小值附近摇摆
首先给出学习率lr，动量参数m
初始速度v=0,初始x
while True：
v = m * v - lr * df/dx
x += v
下面可以看图：
梯度下降+动量， lr=0.05
梯度下降+动量， lr=0.01
梯度下降+动量， lr=0.002
从中我们可以看出：
- lr越小越稳定，太大了很难收敛到最小值上，但是太小的话收敛就太慢了
- 动量参数不能太小，0.9以上表现比较好，但是又不能太大，太大了无法停留在最小值处
算法3：AdaGrad算法
AdaGrad算法的思想是累计历史上出现过的梯度（平方），用积累的梯度平方的总和的平方根，去逐元素地缩小现在的梯度。某种意义上是在自行缩小学习率，学习率的缩小与过去出现过的梯度有关。
缺点是：刚开始参数的梯度一般很大，但是算法在一开始就强力地缩小了梯度的大小，也称学习率的过早过量减少。
算法描述：
给出学习率lr，delta=1e-7
累计梯度r=0，初始x
while True：
g = df/dx
r = r + g*g
x = x - lr / (delta+ sqrt(r)) * g
效果并不是很好......
算法4：RMSProp
AdaGrad算法在前期可能会有很大的梯度，自始至终都保留了下来，这会使得后期的学习率过小。RMSProp在这个基础之上，加入了平方梯度的衰减项，只能记录最近一段时间的梯度，在找到碗状区域时能够快速收敛。
算法描述：
给出学习率lr，delta=1e-6，衰减速率p
累计梯度r=0，初始x
while True：
g = df/dx
r = p*r + （1-p）*g*g
x = x - lr / (delta+ sqrt(r)) * g
RMSProp,p=0.99
RMSProp，p=0.9
RMSProp，p=0.8
衰减速率情况复杂，建议自行调参.......
算法5：Adam算法
Adam算法和之前类似，也是自适应减少学习率的算法，不同的是它更新了一阶矩和二阶矩，用一阶矩有点像有动量的梯度下降，而用二阶矩来降低学习率。
此外还使用了类似于s = s / (1-p1^t)这样的公式，这样的公式在t较为小的时候会成倍增加s，从而让梯度更大，参数跑的更快，迅速接近期望点。而后续t比较大的时候，s = s / (1-p1^t)基本等效于s=s，没什么用。
算法如下：
给出学习率lr，delta=1e-8，衰减速率p1=0.9，p2=0.999
累计梯度r=0，初始x ,一阶矩s=0，二阶矩r=0
时间t = 0
while True：
t += 1
g = df/dx
s = p1*s + (1-p1) *g
r = p2*r +（1-p2）*g*g
s = s / (1-p1^t)
r = r / (1-p2^t)
x = x - lr / (delta+ sqrt(r)) * s
Adam算法，鬼一样的表现
是的，你没有看错，这玩意压根不收敛......，表现极差
在算法中仔细研究后才发现，是在t很小的前几步的时候，p2=0.999太大了，导致r = r / (1-p2^t) 中，1-p2^t接近0，r迅速爆炸，百步之内到了inf。后来修改p2=0.9后效果就好的多了
Adam算法，神级表现
最后还是Adam效果最好了 ：)，尽管学习率还是需要相当的调参
算法6：牛顿法
牛顿法是二阶近似方法的一种，其原理类似于将某函数展开到二次方（二次型）项：
如果幸运的话，这个展开式是一个开口向上的曲面，一步就走到这个曲面的最低点：
初始x
while True：
g = df(x) # 一阶导数
gg = ddf(x) # 二阶导数
x = x - g/gg # 走到曲面的最低点
可怜的牛顿法，静态图
图片如上，看了真可怜........其实牛顿法要求的是H矩阵正定（一维情况下是二阶导数大于零），在多维中，这样的情况难以满足，大量出现的极小值，悬崖，鞍点都会造成影响，导致无法顺利进行下去，为了更好地进行牛顿法，我们需要正则化它。
算法7：牛顿法+正则化
牛顿法加上正则化可以避免卡在极小值处，其方法也很简单：更新公式改成如下即可
一维的算法如下：
初始x ，正则化强度alpha
while True：
g = df(x) # 一阶导数
gg = ddf(x) # 二阶导数
x = x - g/（gg+alpha） # 走到曲面的最低点效果图：
牛顿法+正则化
看了真可怜.........二次方法真心在非凸情况很糟糕。此外算法涉及H矩阵的逆，这需要O（n^3）的计算量，非深度学习可用。
代码：
#coding:utf-8
from __future__ import print_function
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def f(x):
return (0.15*x)**2 + np.cos(x) + np.sin(3*x)/3 + np.cos(5*x)/5 + np.sin(7*x)/7
def df(x):
return (9/200)*x - np.sin(x) -np.sin(5*x) + np.cos(3*x) + np.cos(7*x)
points_x = np.linspace(-20, 20, 1000)
points_y = f(points_x)
# 纯粹的梯度下降法,GD
for i in range(10):
# 绘制原来的函数
plt.plot(points_x, points_y, c="b", alpha=0.5, linestyle="-")
# 算法开始
lr = pow(2,-i)*16
x = -20.0
GD_x, GD_y = [], []
for it in range(1000):
GD_x.append(x), GD_y.append(f(x))
dx = df(x)
x = x - lr * dx
plt.xlim(-20, 20)
plt.ylim(-2, 10)
plt.plot(GD_x, GD_y, c="r", linestyle="-")
plt.title("Gradient descent,lr=%f"%(lr))
plt.savefig("Gradient descent,lr=%f"%(lr) + ".png")
plt.clf()
# 动量 + 梯度下降法
for i in range(10):
# 绘制原来的函数
plt.plot(points_x, points_y, c="b", alpha=0.5, linestyle="-")
# 算法开始
lr = 0.002
m = 1 - pow(0.5,i)
x = -20
v = 1.0
GDM_x, GDM_y = [], []
for it in range(1000):
GDM_x.append(x), GDM_y.append(f(x))
v = m * v - lr * df(x)
x = x + v
plt.xlim(-20, 20)
plt.ylim(-2, 10)
plt.plot(GDM_x, GDM_y, c="r", linestyle="-")
plt.scatter(GDM_x[-1],GDM_y[-1],90,marker = "x",color="g")
plt.title("Gradient descent + momentum,lr=%f,m=%f"%(lr,m))
plt.savefig("Gradient descent + momentum,lr=%f,m=%f"%(lr,m) + ".png")
plt.clf()
# AdaGrad
for i in range(15):
# 绘制原来的函数
plt.plot(points_x, points_y, c="b", alpha=0.5, linestyle="-")
# 算法开始
lr = pow(1.5,-i)*32
delta = 1e-7
x = -20
r = 0
AdaGrad_x, AdaGrad_y = [], []
for it in range(1000):
AdaGrad_x.append(x), AdaGrad_y.append(f(x))
g = df(x)
r = r + g*g # 积累平方梯度
x = x - lr /(delta + np.sqrt(r)) * g
plt.xlim(-20, 20)
plt.ylim(-2, 10)
plt.plot(AdaGrad_x, AdaGrad_y, c="r", linestyle="-")
plt.scatter(AdaGrad_x[-1],AdaGrad_y[-1],90,marker = "x",color="g")
plt.title("AdaGrad,lr=%f"%(lr))
plt.savefig("AdaGrad,lr=%f"%(lr) + ".png")
plt.clf()
# RMSProp
for i in range(15):
# 绘制原来的函数
plt.plot(points_x, points_y, c="b", alpha=0.5, linestyle="-")
# 算法开始
lr = pow(1.5,-i)*32
delta = 1e-6
rou = 0.8
x = -20
r = 0
RMSProp_x, RMSProp_y = [], []
for it in range(1000):
RMSProp_x.append(x), RMSProp_y.append(f(x))
g = df(x)
r = rou * r + (1-rou)*g*g # 积累平方梯度
x = x - lr /(delta + np.sqrt(r)) * g
plt.xlim(-20, 20)
plt.ylim(-2, 10)
plt.plot(RMSProp_x, RMSProp_y, c="r", linestyle="-")
plt.scatter(RMSProp_x[-1],RMSProp_y[-1],90,marker = "x",color="g")
plt.title("RMSProp,lr=%f,rou=%f"%(lr,rou))
plt.savefig("RMSProp,lr=%f,rou=%f"%(lr,rou) + ".png")
plt.clf()
# Adam
for i in range(48):
# 绘制原来的函数
plt.plot(points_x, points_y, c="b", alpha=0.5, linestyle="-")
# 算法开始
lr = pow(1.2,-i)*2
rou1,rou2 = 0.9,0.9 # 原来的算法中rou2=0.999，但是效果很差
delta = 1e-8
x = -20
s,r = 0,0
t = 0
Adam_x, Adam_y = [], []
for it in range(1000):
Adam_x.append(x), Adam_y.append(f(x))
t += 1
g = df(x)
s = rou1 * s + (1 - rou1)*g
r = rou2 * r + (1 - rou2)*g*g # 积累平方梯度
s = s/(1-pow(rou1,t))
r = r/(1-pow(rou2,t))
x = x - lr /(delta + np.sqrt(r)) * s
plt.xlim(-20, 20)
plt.ylim(-2, 10)
plt.plot(Adam_x, Adam_y, c="r", linestyle="-")
plt.scatter(Adam_x[-1],Adam_y[-1],90,marker = "x",color="g")
plt.title("Adam,lr=%f"%(lr))
plt.savefig("Adam,lr=%f"%(lr) + ".png")
plt.clf()
# 牛顿法
for i in range(72):
# 绘制原来的函数
plt.plot(points_x, points_y, c="b", alpha=0.5, linestyle="-")
# 算法开始
alpha= pow(1.2,-i)*20
x = -20.0
Newton_x, Newton_y = [], []
for it in range(1000):
Newton_x.append(x), Newton_y.append(f(x))
g = df(x)
gg = ddf(x)
x = x - g/(gg+alpha)
plt.xlim(-20, 20)
plt.ylim(-2, 10)
plt.plot(Newton_x, Newton_y, c="r", linestyle="-")
plt.scatter(Newton_x[-1],Newton_y[-1],90,marker = "x",color="g")
plt.title("Newton,alpha=%f"%(alpha))
plt.savefig("Newton,alpha=%f"%(alpha) + ".png")
plt.clf()