Dijkstra最短路算法及其C++实现

Dijkstra算法

Dijkstra算法(又叫标号法)是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959 年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有权图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。

算法原理

首先我们拿出待求的图D，从起点V₁开始，给每一个顶点记一个数，称之为标号，分为T标号和P标号两种。T标号表示从V₁到这一点的最短路权的上界，称之为临时标号；P标号表示从V₁到该点的最短路权，称为固定标号。已得到P标号的点不再改变，凡是没有标上P标号的点，标上T标号。算法的每一步都会把某一点的T标号修改为P标号。经过有限步后，就可给所有的点标上P标号，即得到从起点到每一点的最短路权，计算步骤如下：

1. 给V₁标上P标号 ，P(1)=0，其余各点标上T标号，记为$$T_0(j)=+\infty$$表示从V₁到V₁的最短路权上界为正无穷。标号中，括号内的数表示点号，角码0表示为初始值。
2. 设V_i是前一轮（K-1轮）标号刚得到P标号的点，则对所有没有得到P标号的点进行新一轮（K轮）标号。考虑所有与V_i相邻并没有标上P标号的点V_j，修改V_j的T标号为：$$T_k(j)=min[T(j),P(j)+d_{ij}]$$式中：d_ij为V_i到V_j的距离（权）；T(j)为第K轮标号前V_i点已取得的T标号。
   在所有T标号中寻找一个最小的T标号T_k(j₀)：$$T_k(j_0)=min[T_k(j),T(l)]$$式中：T(l)为与V_i不相邻点V_l已取得的T标号。
   给点T_j0标上P标号，即$$P(j_0)=T_k(j_0)$$
3. 若D中已没有T标号点，则算法结束。否则转入步骤2。

C++代码

#include "pch.h"
#include 
using namespace std;

#define infinity 0x3f3f3f3f //定义无穷大

class Vertex			//顶点类
{
public:
	double value; //值
	bool lable; //标号 0为T 1为P
	Vertex(double v = infinity, bool L = 0) { value = v; lable = L; }
};

double min(double a, double b);
int compare(Vertex *&a, int &n);

int main()
{
	int num_v, i = 0, j = 0;
	cin >> num_v;
	while (num_v < 2)		//确保输入顶点数大于2
	{
		cout << "Wrong num!";
		cin >> num_v;
	}
	Vertex *arr = new Vertex[num_v];		//储存各个顶点
	double **Edge = new double *[num_v];	//为行指针分配空间 
	for (i = 0; i < num_v; i++)
		Edge[i] = new double[num_v];		//为每行分配空间
	for (i = 0; i < num_v; i++)				//输入路权
		for (j = 0; j < num_v; j++)
			cin >> Edge[i][j];

	int pos = 0;
	arr[pos] = Vertex(0, 1);		//起点标号
	do
	{
		for (j = 0; j < num_v; j++)
			if (Edge[pos][j] > 0)
				arr[j].value = min(arr[j].value, arr[pos].value + Edge[pos][j]);		//标号算法
		pos = compare(arr, num_v);			//比较所有T标号
	} while (arr[num_v - 1].lable == 0);		
	cout << "value=" << arr[num_v - 1].value<<endl;			//输出最小路权

	int *route = new int[num_v]();			//储存路线
	for (i = 0 ; pos != 0 ; i++)
		if (arr[i].lable == 1)			//P标号筛查
			if (abs(arr[i].value + Edge[i][pos] - arr[pos].value) < 0.0001)			//路线反推
			{
				route[j] = pos + 1;
				pos = i;
				i = -1;
				j++;
			}
	route[j] = 1;						//这样可以去掉末尾的"-"
	cout << "route:";
	while (route[j-1])
	{	
		cout << route[j] << "-";
		j--;
	}
	cout << route[j];
}

double min(double a, double b)		//两数比大小
{
	return a > b ? b : a;
}
int compare(Vertex *&a, int &n)		//所有顶点T标号比大小，并返回新的P标号位置
{
	double minT = infinity;
	int pos = 0;
	for (int k = 0; k < n; k++)
	{
		if (a[k].lable == 1)
			continue;
		if (a[k].value < minT)
		{
			minT = a[k].value;
			pos = k;
		}			
	}
	a[pos].lable = 1;
	return pos;
}

使用注意

使用时要先后输入图的顶点(Vertax)数（大于2）和距离矩阵(Distance Matrix)。程序中约定当V_i与V_j不直接联通时记Edge[i][j]=0。