最短路径(SPF - Shortest Path Firsh) - Dijkstra算法

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题目

         该问题也叫“单元点最短路径问题”，即：给定一个起点到其他所有点的最短路径。

         前提：

                   假定已经给出了Wij，即第i个点到第j个点的边的距离的衡量(权值)，Wij要么是∞(i到j不通)，要么是大于0的某一个值。

思路解析

         对于从v0至w，且经过最后一个中间结点为u的最短路径，有：

                   DIST(w)= DIST(u) + c(u,w)

         随着u的加入， DIST(w)调整为

                   DIST(w)= min(DIST(w),DIST(u) + c(u,w))

 

         既然让我们求某一个点S到某个点E的最短路径，那我们扩展一下，求S到所有点other的最短路径，于是总有一个时刻，other中包含了E，这样不就求出了从S到E的最短路径。

例子

         如上图所示，我们相求从v1到v7的最短路径，于是进行下图所示的迭代

         第一行：

改行是v1到v2，v3…，v7的最短路径

最初集合S中只有起点v1，而当前已找到的路径也是v1

于是遍历v1可以到达的不在几何S中的点，找到最近的，发现是v2，因此把v2包含在集合S中(于是第二行的S中多了个2)，已找到的路径更新成“v1->v2”

         第二行：

经上一步v2包含在了集合S中

之后同上，遍历v2可以到达的不在集合S中的点，有v3和v6.

对于v6，有如下情况：

         v1 -> v2 -> v6：距离90

         v1 -> v6：距离∞

所以将v1到v6的距离更新成90，v1到v3同理更新成45。

现在v1到达各点的最短距离已经更新，即第二行。

接下来，同上，遍历v1可以到达的不在几何S中的点，找到最近的，发现是v4，于是把v4包含在集合S中(于是第三行的S中多了4)，已找到的路径更新成“v1->v2->v4”

         之后就同理了。