堆

思考：多个任务需要执行，如何调整其执行顺序？
优先队列：特殊的“队列”，取出元素的顺序是依照元素的优先权（关键字）大小，而不是元素进入队列的先后顺序。

若采用数组或者链表实现优先队列：
数组：插入－元素总是插入尾部；删除－查找最大（或最小）关键字从数组中删去需要移动元素
链表：插入－元素总是插入链表的头部；删除－查找最大（或最小）关键字删去结点
有序数组：插入－找到合适位置移动元素并插入；删除－删去最后一个元素
有序链表：插入－找到合适位置插入元素；删除－删去最后一个元素或首元素

是否可以采用二叉树存储结构？
二叉搜索树？不能简单地利用二叉搜索树，输入插入、删除操作都比较简单，但当我们每次都删除最大值（即最右结点）会导致搜索树变斜，高度不变复杂度也不变
如果采用二叉树结构，应该更加关注删除；树结点顺序安排：根结点为最大值每次删除都删除根结点，树的结构采用完全二叉树任何结点值都比左右子树结点值大。

－堆的两个特性：

结构性：用数组表示的完全二叉树
有序性：任一结点的关键字是其子树所有结点的最大值（或最小值）
“最大堆（MaxHeap）”也称“大顶堆”：最大值；“最小堆（MinHeap）”也称“小顶堆”：最小值

－最大堆的主要操作：

－最大堆的创建：

typedef struct HeapStruct *MaxHeap ;
struct HeapStruct {
ElementType *Element ; // 存储堆元素的数组
int Size; // 堆的当前元素个数
int Capacity ; // 堆的最大容量
}

MaxHeap Create ( int MaxSize )
{ // 创建容量为MaxSize的空的最大堆
MaxHeap H = malloc ( sizeof ( struct HeapStruct ) ) ;
H -> Elements = malloc ( ( MaxSize + 1 ) * sizeof ( ElementType ) ) ;
// 下标为1的位置开始存值，下标为0的位置不存放堆元素
H -> Size = 0 ;
H -> Capacity = MaxSize ;
H -> Element [0] = MaxData ; // 定义“哨兵”为大于堆中所有可能元素的值便于以后更快操作
return H ;
}

－最大堆的插入：

void Insert ( MaxHeap H , ElementType item )
{ // 将元素item插入最大堆H，其中H -> Elements [0] 已经定义为哨兵
int i ;
if ( IsFull ( H ) ) {
printf ( “最大堆已满” ) ;
return ;
}
i = ++H -> Size ; // i 指向插入后堆中的最后一个元素的位置
for ( ; H -> Elements [ i/2 ] < item; i /= 2 ) // 与父结点做比较，i / 2 表示的就是父结点的下标
H -> Element [ i ] = H -> Elements [ i/2 ]; // 向下过滤结点
H -> Elements [ i ] = item ; // 将 item 插入
}
H -> Element [ 0 ]是哨兵元素，它不小于堆中的最大元素控制循环结束（哨兵比所有值都大所以当插入的新元素比较大要放入下标为1位置时就直接与哨兵比较循环结束新元素插入树的最顶层；若没有哨兵则需要对 i 判断当 i == 1时就可知道插入的新元素是最大值）

－最大堆的删除：

取出根结点（最大值）元素，同时删除堆的一个结点
步骤：1.将根结点删除，2.把位置最后那个结点移至根结点位置即下标为1的位置，3.找出此时根结点中较大的孩子并使其与根结点交换位置重复该步骤直到最后
ElementType DeleteMax ( MaxHeap H )
{ // 从最大堆H中取出键值为最大的元素并删除一个结点
int Parent, Child ;
ElementType MaxItem , temp ;
if ( IsEmpty ( H ) ) {
printf ( “最大堆以为空” ) ;
return;
}
MaxItem = H -> Elements [ 1 ] ; // 取出根结点最大值
// 用最大堆中最后一个元素从根结点开始向上过滤下层结点
temp = H -> Elements [ H -> Size — ] ;
for ( Parent = 1; Parent * 2 <= H -> Size ; Parent = Child ){
Child = Parent * 2 ;
if ( ( Child != H -> Size ) && ( H -> Elements [Child] < H -> Elements [Child + 1] ) )
Child ++; // Child指向左右结点的较大者
if ( temp >= H -> Elements [ Child ] ) break ;
else // 移动temp元素到下一层
H -> Elements [ Parent ] = H -> Elements [ Child ] ;
}
H -> Elements [ Parent ] = temp ;
return MaxItem ;
}

－最大堆的建立：

堆的一个应用是：堆排序，需要先建堆
建立最大堆：将已经存在的N个元素按最大堆的要求存放在一个一维数组中
方法1：通过插入操作，将N个元素一个个相继插入到一个初始为空的堆中去，其时间代价最大为 O( N logN )。
方法2：在线性时间复杂度下建立最大堆。
（1）将N个元素按输入顺序存入，先满足完全二叉树的结构特性
（2）调整各结点位置，以满足最大堆的有序特性
倒数第一个有儿子的结点开始逐渐将它们调整成堆（调整：将结点与其左右儿子中比较大的儿子交换位置直到结点比它左右儿子都大为止）

堆