Preimage Size of Factorial Zeroes Function

Let f(x) be the number of zeroes at the end of x!. (Recall that x! = 1 * 2 * 3 * ... * x, and by convention, 0! = 1.)

For example, f(3) = 0 because 3! = 6 has no zeroes at the end, while f(11) = 2 because 11! = 39916800 has 2 zeroes at the end. Given K, find how many non-negative integers x have the property that f(x) = K.

Example 1:
Input: K = 0
Output: 5
Explanation: 0!, 1!, 2!, 3!, and 4! end with K = 0 zeroes.

Example 2:
Input: K = 5
Output: 0
Explanation: There is no x such that x! ends in K = 5 zeroes.

Note:

• K will be an integer in the range [0, 10^9].

题目描述：设关于整数x的函数f(x)，返回x！末尾0的个数，给定K，问使得f(x)=K的x有多少个

思路：

       首先我们想到，要构成x！末尾的0，就需要因子中含有2和5，或者因子的因子含有2和5（例如4和15），因此要计算f(x)，只需要计算1~x的因子中含有的2和5的个数；进一步想到，x至少增加5，才能使得因子5的个数增加，而x主要增加2，就会使得因子2的个数增加，所以对于任意的x，1~x中因子5的个数一定大于（或等于）因子2的个数，因此1~x中因子5的个数就是x！末尾0的个数；再继续想到，因为没5个数就一定会出现至少一对2和5，所以，对于任意的K，所求的解要么是0，要么是5，也就是说，如果存在x使得f(x)=K，那么，可能的x的个数就是5.

       然后，要考虑如何验证是否存在x使得f(x)=K，因此我们需要找到一个这样的x，使得f(x)=K，考虑使用二分法，这里，由于LeetCode的用例设置的比较大，所以二分的上限需要设置的大一些。

       然后，我们要思考的是如何计算1~x中因子5的个数，想到，每5个数就是增加一个因子5，每25个数会额外增加一个因子5，每625个数又会额外增加一个5，因此1~x中因子5的个数可以通过将x与5的幂的商相加得到。

       

class Solution {
    public int preimageSizeFZF(int K) {
        if(min(K))
        	return 5;
        return 0;
    }
    
    public boolean min(int n){
    	long left = 0, right = Integer.MAX_VALUE;
    	right *= 100000;
    	while(left < right){
    		long mid = left + (right - left) / 2;
    		long count = 0;
    		long base = 5;
    		//System.out.println(mid);
    		while(base <= mid){
    			count += mid / base;
    			base *= 5;
    		}
    		if(count == n){
    			//System.out.println(mid + "!!");
    			return true;
    		}
    		if(count < n)
    			left = mid + 1;
    		else
    			right = mid - 1;
    	}
    	//System.out.println(left);
    	return false;
    }
}