条件概率 全概率公式 贝叶斯定律 独立事件

全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,   它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.

全概率公式：

加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)  A、B互斥       乘法公式 P(AB)=P(A)P(B|A)   P(A)>0 

例：有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球.  某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率.

解：记Ai={球取自i号箱},      i=1,2,3;B={取得红球}  ， B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，A1+A2+A3=S（样本空间）

即        B=A1B+A2B+A3B，

且       A1B、A2B、A3B两两互斥， P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)， 每一项用乘法公式带入得 P(B)=8/15

将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式

在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总是伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算

我们还可以从另一个角度去理解

某一事件B的发生有各种可能的原因(i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，则B发生的概率是 P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai)

每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式.

由此可以形象地把全概率公式看成为

“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系.

 

贝叶斯定律的理解：实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因”

例如，有一个病人高烧到40度（记为事件A），医生要确定他患何种疾病，则必须考虑病人可能得的疾病B1,B2,...,Bn,假定一个病人不会同时得几种疾病，即事件B1,B2,B...Bn互不相容，医生可以凭以往的经验估计出他得各种病的概率P(Bi)(i=1,2,..,n), 这通常称为先验概率.进一步要考虑的是一个人高烧到40度时，他得这种病时的可能性，即P(Bi|A)(i=1,2,...,n)的大小，它可由贝叶斯公式算得，这个概率表示在获得新的信息（病人高烧40度）后，病人得B1,B2,...,Bn这些疾病的可能性大小,这通常称为后验概率，有了后验概率，就为医生的诊断提供了重要依据。若我们把A视为观察的“结果”，把B1,B2,...,Bn理解为“原因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并做出了“有因溯果”的推断。