2017 年研究生入学考试数学一选择题第 2 题解析

题目

若函数 \(f(x)\) 可导，且 \(f(x)f'(x)>0\), 则（）

( A ) \(f(1)>f(-1)\)

( B ) \(f(1)

( C ) \(|f(1)|>|f(-1)|\)

( D ) \(|f(1)|<|f(-1)|\)

解析

观察题目我们可以发现，\(f(x)f'(x)\) 和下面这个这个公式很像：

\([f(x) \cdot g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)

如果我们令 \(g(x)=f(x)\), 则有：

\(f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=f'(x)f(x)+f(x)f'(x)=f(x)f'(x)+f(x)f'(x)=2f(x)f'(x)\)

进一步，我们可以令 \(F(x)=f^{2}(x)\), 则有：

\(F'(x)=2f(x)f'(x)\)

由题可知，\(f(x)f'(x)>0\), 于是有 \(F'(x)>0\), 即 \(F(x)\) 是一个单调递增的函数，由此可得：

\(F(1)-F(-1)>0\)

即：

\(f^{2}(1)-f^{2}(-1)>0 \Rightarrow f^{2}(1)>f^{2}(-1) \Rightarrow |f(1)|>|f(-1)|\)

综上可知，正确答案为：C

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