2017 年研究生入学考试数学一填空题第 1 题解析（两种方法）

题目

已知函数 \(f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}\), 则 \(f^{(3)}(0)=\)

解析

方法一

本题可以借助函数奇偶性的相关性质解出。

由于：

\(f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}\)

\(f(-x)=\frac{1}{1+(-x)^{2}}=\frac{1}{1+x^{2}}\)

因此：

\(f(x)=f(-x)\)

于是，我们知道，函数 \(f(x)\) 是一个偶函数。

接下来，根据“偶函数的导数是奇函数，奇函数的导数是偶函数”的规律，我们知道，函数 \(f^{(3)}(x)\) 是一个奇函数。

又由于，如果一个奇函数 \(g(x)\) 在原点处(\(x=0\))有定义，则 \(g(x)=0\), 因此有：

\(f^{(3)}(0)=0\)

综上可知，本题的答案就是：\(0\)

方法二

本题也可以借助泰勒级数计算。

本题要求解的是在 \(x=0\) 时，\(f(x)\) 的三次导函数的函数值。我们知道，麦克劳林级数就是函数在 \(x=0\) 处的泰勒级数，是泰勒级数的一个特例。于是，这里我们可以使用麦克劳林级数对原式进行级数展开。

麦克劳林级数中有一个关于几何级数的公式，如下：

\(\frac{1}{1-x}=\sum_{0}^{\infty}x^{n}, |x|<1\)

当我们把上述公式中的 \(x\) 替换成 \(-x^{2}\) 后，\(f(x)\) 就可以使用上述几何级数的公式表达，如下：

\(f(x) = \frac{1}{1+x^{2}}=\frac{1}{1-(-x^{2})}=\sum_{0}^{\infty}(-x^{2})^{n}=\sum_{0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}\)

之后，对 \(f(x)\) 求导：

\(f'(x)=\sum_{0}^{\infty}(-1)^{n} \cdot 2n \cdot x^{2n-1}\)

\(f''(x)=\sum_{0}^{\infty}(-1)^{n} \cdot 2n \cdot 2n-1 \cdot x^{2n-2}\)

\(f'''(x)=\sum_{0}^{\infty}(-1)^{n} \cdot 2n \cdot 2n-1 \cdot 2n-2 \cdot x^{2n-3}\)

于是，\(f'''(0)=0\)

综上可知，本题的答案就是：\(0\)

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