计数原理

容斥原理

• 例题：
• luogu p1450 硬币购物：
• 题目描述
  共有4种硬币。面值分别为c1->,c4。某人去商店买东西，去了tot次。每次带di枚ci硬币，买si的价值的东西。问每次有多少种付款方案。
  输入格式：
  第一行 c1,c2,c3,c4,tot 下面tot行 d1,d2,d3,d4,s

输出格式：
每次的方法数

输入样例#1： 复制
1 2 5 10 2
3 2 3 1 10
1000 2 2 2 900
输出样例#1： 复制
4
27
解：
先求一个完全背包求方案数，因为每次选的物品是无限的。而题目要求每件只能选d[i]种，所以答案要减去不满足的情况。
因为完全背包的递推式：f[j] += f[j-c[i]],所以只要有了d{i]+1件，其余的可以任选。所以减去f[(d[i]+1)*c[i]];
还要注意（奇数次操作是减，偶数次操作是加）

斯特林数传送门
卢卡斯定理传送门

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杨辉三角：
1.用到全部组合数。

for (int i = 0;i <= n;i++)
{
	c[i][0] = 1;
	for (int i = 1;i <= i;j++) c[i][j] = c[i-1][j-1] + c[i-1][j];
}

2.用到一行的组合数。(在n个中取i个)
公式：

$\frac{n-k+1}{k}{C}_n^{k-1}$

c[0] = 0;
for (int i = 1;i <= n;i++) c[i] = c[i-1]*(n-i+1)/i;//一定要先乘后除。防止除法去尾。

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求约数个数：

ans = ${\prod }_{i=1}^k（a[i]+1)$

欧拉函数

1.求单个欧拉函数。

int euler_phi(int n)
{
   int m = sqrt(n);
   int ans = n;
   for (int i = 2;i <= m;i++) if(n%i == 0 )  {
         ans = ans /i * (i-1);
         while(n%i == 0) n/= i;
   }
   if( n > 1 ) ans = ans / n * (n-1);
   return ans;
} 

2.欧拉筛：

void euler_table(int n)
{
	phi[1] = 1;
	for (int i = 2;i <= n;i++) if(!phi[i])
	for (int j = i;j <= n;j+=i)
	{
		if(!phi[j]) phi[j] = j;
		phi[j] = ph[j]/i * (i-1);
	}
}

数学的题目 = 打表找规律+随便xiajiba乱分析;