RSA加密算法中的数学原理

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1、RSA加密算法概述

RSA加密算法是非对称加密算法中的一种，在1977年由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的，并取三人名字的首字母命名该算法。

RSA加密算法因其可靠的安全性（目前看来是十分安全的），得到了广泛的认可和使用，ISO（国际标准化组织）、ITU（国际电信联盟）及SWIFT（环球同业银行金融电讯协会）等国际标准组织均采用RSA作为加密标准，PGP等协议也采用RSA算法来传输会话密钥和数字签名；在本篇文章中，将详细讲解RSA算法中的数学原理和加密本质；

2、RSA加密算法的数学原理

（1）素数：一个大于1的数字，如果只能被1和这个数字本身整除，那么我们就称这个数字为素数，

例如7只能被1和7整除，所以7是素数，8能被1、2、4和8整除，所以8不是素数；

（2）互素：如果两个数m，n的最大公约数是1，那么称m与n互素，记作：（m，n）=1；

（3）φ（n）：对于任意一个数n，φ（n）表示哪些与n互素并且小于n的数字的总数；

例如，φ（8）=4，因为只有1、3、5、7与8互素；φ（5）=4，（1,2,3,4都是）；

（4）在（1）（2）（3）的基础上引出一个重要的定理，如果n是一个素数，那么φ（n）=n-1;

（5）φ（n）具有传递性：p，q是素数，那么φ（p）=p-1; φ（q）=q-1;n=p*q;此时φ（n）=φ（p）*φ（q）=（p-1）（q-1）；

（6）广义欧几里得除法：，如果（m，n）=1即（m，n互素），那么一定存在整数s，t使得t*m+n*s=1（“+”号也可以写成“-”号）；可以理解为t*m比n的s倍还要多1，也可以表示为t*m=1 mod n；其中mod表示求余数；

（6）欧拉定理：p是一个素数，（a，p）=1，即a和p互素，那么a^φ（p）=1 mod p;这是一个著名的定理，证明过程很复杂，我们直接忽略；

（7）RSA的定理模型：

设p，q是两个素数，n=p*q；

假设整数e满足1

1、 那么e，φ（n）就满足了定理（5），所以就存在整数s、d，e*d+s* φ（n）=1；

2、 假设存在一个整数a，（a，n）=1；那么a和q，p也应该互素，即（a，p）=1；（a，q）=1；

既然（a，p）=1；那就满足了定理（6）；所以a^φ（p）=1 mod p；

等式两边同时做φ（q）次幂运算，得到（a^φ（p））^φ（q）=1^φ（q） mod p,

整理得a^(φ（p）*φ（q）)=1 mod p;

套用定理（5），φ（n）=φ（p）*φ（q），所以a^φ（n）=1 mod p;

等式两边同时做s次幂运算，得到a^（s*φ（n））=(1^s) mod p=1 mod p;

左右在个乘以a，得到a^(1+（s*φ（n））)=a mod p;

这是我们发现1+（s*φ（n））不就是e*d吗？（套用1、结论）；所以：

a^(e*d)=a mod p;①这是一个重要的结论，同理，q，p在本质上是相同的，所以

a^(e*d)=a mod q;②

算式①和算式②可以利用中国剩余定理得出结论a^(e*d)=a mod （p*q）;中国剩余定理是比较复杂的，不过我们可以狭义的理解为这样的数学题，一个整数，被5除余1，被7除余1，那么这个整数最小是多少呢？答案是36，因为这个整数一定被5*7=35除余1，所以它是36，71,106……所以最小是36；

那么a^(e*d)=a mod （p*q）就很好理解了，因为n=p*q;所以a^（e*d）=a mod n;

这个算式是非常有价值的，因为a在算了e次幂后，再算d次幂竟然又算回来了，依然等于a；这个过程非常符合我们的加密和解密过程；而且e，d是不相同的，所以加密和解密过程将满足非对称的关系；所以我们可以这样设计RSA加密算法：

（8）RSA加密算法数学表达：

 

 

1、 RSA的破解原理

几乎所有关于RSA算法安全性的介绍都会提到，RSA算法的安全性基于大素数相乘不可分解的数学原理；那么它究竟是什么意思呢？

我们还是要看这个算式e*d+s* φ（n）=1；这是上文中结论1的算式；它也可以表示成上图的模式：e*d=1 mod φ（n）；

其中n和e是公钥，是公开的给大家的，要想破解RSA算法，我就必须通过这个算式算出d来，但是φ（n）是多少我们也不知道；

在数学中，有这样一个事实，如果X*Y=Z,*表示数学运算，如果我们只知道X是多少，不知道Z，那么你是永远也算不出Y的;所以我们需要从已知的n出发，算出φ（n），进而算出d；

因为φ（n）=φ（p）φ（q）=（p-1）（q-1），所以我们只需要算出p和q，而n=p*q;因此RSA破解的核心问题就变成了分解n；当n的位数比较少时，我们可以通过计算机，运用遍历的方法，暴力破解出p和q，但是如果p，q是非常大的素数时呢？例如p，q是2048位的素数，那么暴力破解的耗时将剧增，这也就是所谓的大素数相乘不可分解的数学难题；

目前，随着计算机计算能力的增加，暴力破解的耗时也开始减少，p，q取512位素数的情况已经不堪一击，现在最安全的做法是取2048位，如果有一天，系统计算能力取得突破进展（比如量子计算），那么将是“灾难”的一天。