01背包问题、完全背包问题、多重背包问题

0-1 背包问题：给定 n 种物品和一个容量为 C 的背包，物品 i 的重量是 wi，其价值为 vi 。

问：应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大？

 

分析一波，面对每个物品，我们只有选择拿取或者不拿两种选择，不能选择装入某物品的一部分，也不能装入同一物品多次。

 

解决办法：声明一个 大小为  m[n][c] 的二维数组，m[ i ][ j ] 表示 在面对第 i 件物品，且背包容量为  j 时所能获得的最大价值 ，那么我们可以很容易分析得出 m[i][j] 的计算方法，

（1）. j < w[i] 的情况，这时候背包容量不足以放下第 i 件物品，只能选择不拿

m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ]

（2）. j>=w[i] 的情况，这时背包容量可以放下第 i 件物品，我们就要考虑拿这件物品是否能获取更大的价值。

如果拿取，m[ i ][ j ]=m[ i-1 ][ j-w[ i ] ] + v[ i ]。 这里的m[ i-1 ][ j-w[ i ] ]指的就是考虑了i-1件物品，背包容量为j-w[i]时的最大价值，也是相当于为第i件物品腾出了w[i]的空间。

如果不拿，m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ] , 同（1）

究竟是拿还是不拿，自然是比较这两种情况那种价值最大。

 

 

由此可以得到状态转移方程：

 

if(j>=w[i])  
    m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);  
else  
    m[i][j]=m[i-1][j];  

例：0-1背包问题。在使用动态规划算法求解0-1背包问题时，使用二维数组m[i][j]存储背包剩余容量为j，可选物品为i、i+1、……、n时0-1背包问题的最优值。绘制

价值数组v = {8, 10, 6, 3, 7, 2}，

重量数组w = {4, 6, 2, 2, 5, 1}，

背包容量C = 12时对应的m[i][j]数组。

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	0	0	0	8	8	8	8	8	8	8	8	8
2	0	0	0	8	8	10	10	10	10	18	18	18
3	0	6	6	8	8	14	14	16	16	18	18	24
4	0	6	6	9	9	14	14	17	17	19	19	24
5	0	6	6	9	9	14	14	17	17	19	21	24
6	2	6	8	9	11	14	16	17	19	19	21	24

(第一行和第一列为序号，其数值为0)
如m[2][6],在面对第二件物品，背包容量为6时我们可以选择不拿，那么获得价值仅为第一件物品的价值8，如果拿，就要把第一件物品拿出来，放第二件物品，价值10，那我们当然是选择拿。m[2][6]=m[1][0]+10=0+10=10;依次类推，得到m[6][12]就是考虑所有物品，背包容量为C时的最大价值。

        

#include   
#include   
using namespace std;  
  
  
const int N=15;  
  
  
int main()  
{  
    int v[N]={0,8,10,6,3,7,2};  
    int w[N]={0,4,6,2,2,5,1};  
  
  
    int m[N][N];  
    int n=6,c=12;  
    memset(m,0,sizeof(m));  
    for(int i=1;i<=n;i++)  
    {  
        for(int j=1;j<=c;j++)  
        {  
            if(j>=w[i])  
                m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);  
  
  
            else  
                m[i][j]=m[i-1][j];  
        }  
    }  
  
  
    for(int i=1;i<=n;i++)  
    {  
        for(int j=1;j<=c;j++)  
        {  
            cout<

 

到这一步，可以确定的是可能获得的最大价值，但是我们并不清楚具体选择哪几样物品能获得最大价值。

另起一个 x[ ] 数组，x[i]=0表示不拿，x[i]=1表示拿。

m[n][c]为最优值，如果m[n][c]=m[n-1][c] ,说明有没有第n件物品都一样，则x[n]=0 ; 否则 x[n]=1。当x[n]=0时，由x[n-1][c]继续构造最优解；当x[n]=1时，则由x[n-1][c-w[i]]继续构造最优解。以此类推，可构造出所有的最优解。

void traceback()  
{  
    for(int i=n;i>1;i--)  
    {  
        if(m[i][c]==m[i-1][c])  
            x[i]=0;  
        else  
        {  
            x[i]=1;  
            c-=w[i];  
        }  
    }  
    x[1]=(m[1][c]>0)?1:0;  
}  

例：

 

某工厂预计明年有A、B、C、D四个新建项目，每个项目的投资额Wk及其投资后的收益Vk如下表所示，投资总额为30万元，如何选择项目才能使总收益最大？

 

Project	Wk	Vk
A	15	12
B	10	8
C	12	9
D	8	5

#include   
#include   
using namespace std;  
  
const int N=150;  
  
int v[N]={0,12,8,9,5};  
int w[N]={0,15,10,12,8};  
int x[N];  
int m[N][N];  
int c=30;  
int n=4;  
void traceback()  
{  
    for(int i=n;i>1;i--)  
    {  
        if(m[i][c]==m[i-1][c])  
            x[i]=0;  
        else  
        {  
            x[i]=1;  
            c-=w[i];  
        }  
    }  
    x[1]=(m[1][c]>0)?1:0;  
}  
  
int main()  
{  
  
  
    memset(m,0,sizeof(m));  
    for(int i=1;i<=n;i++)  
    {  
        for(int j=1;j<=c;j++)  
        {  
            if(j>=w[i])  
                m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);  
  
            else  
                m[i][j]=m[i-1][j];  
        }  
    }/* 
    for(int i=1;i<=6;i++) 
    { 
        for(int j=1;j<=c;j++) 
        { 
            cout<

 

完全背包问题：给定 n 种物品和一个容量为 C 的背包，物品 i 的重量是 wi，其价值为 vi，每种物品可以无限的选取 。

问：应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大？

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1114

题目大意：给出一个存钱罐没有装钱的重量和装满前的重量，给你n种硬币的面值和重量，问存钱罐的最低存款 为多少。

思路：

其实完全背包可以转化为01背包的问题来考虑

还记得01背包的动态转移方程：

        for(i=1;i<=n;i++)
        {
                 for(j=v;j>=weight[i];j--)
                {
                        dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);
                }
        }

完全背包：

        for( i=1;i<=n;i++)
        {
                 for( j=weight[i];j<=m;j++)
                 {
                        dp[j]=min(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);
                 }
        }

题目代码：
 

#include
#include
#include
using namespace std;
int dp[100005];
int value[100005],weight[100005];
int main()
{
    int n,t,m1,m2,m;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        memset(dp,0x3f3f3f3f,sizeof(dp));
        cin>>m1>>m2;
        m=m2-m1;
        cin>>n;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            cin>>value[i]>>weight[i];
        }
        dp[0]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=weight[i];j<=m;j++)
            {
                    dp[j]=min(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);
            }
        }
        if(dp[m]!=0x3f3f3f3f)
            printf("The minimum amount of money in the piggy-bank is %d.\n",dp[m]);
        else
            cout<<"This is impossible."<

多重背包：

对于多重背包而言，就是在每个物品的基础上多出了一个数量，不再像完全背包一样可以无限的选取，这样我们就要在选取时判断是否还有该物品。

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2191

动态转移方程为：

         for(int i=1;i<=n;i++)
        {
                   for(int j=1;j<=num[i];j++)
                   {
                            for(int k=m;k>=value[i];k--)
                           {
                                    dp[k]=max(dp[k],dp[k-value[i]]+weight[i]);
                            }
                  }
        }

解题代码：

#include
#include
#include
using namespace std;
int dp[100005];
int value[100005],weight[100005],num[100005];
int main()
{
    int n,t,m;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        cin>>m>>n;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            cin>>value[i]>>weight[i]>>num[i];
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=num[i];j++)
            {
                for(int k=m;k>=value[i];k--)
                {
                    dp[k]=max(dp[k],dp[k-value[i]]+weight[i]);
                }
            }
        }
        cout<