曲线坐标系与直角坐标系转换（二）——基础：三次样条插值原理（cubic spline）

一、引入

上一篇提到插值多项式，几次函数就称为几次样条函数如，

二次样条函数为：f(x) = a*x^2 + b*x + c

三次样条函数为：f(x) = a*x^3 + b^x^2 + c*x +d

x=[1,3,5,7,9];

y=[2,4,6,8,10];有5个节点，4个区间

      对于二次样条函数，需要求4*3 = 12个参数，根据已知端点（1，5）：2个方程；中间曲线方程在节点处的值必须相等（2，3，4）：3*2 = 6个方程；中间节点处的一阶导数的值必须相等（2，3，4）：3个方程；假设第一个方程的二阶导数为0，即a1=0，1个方程；一共 2+6+3+1=12个方程。

对于三次样条函数4*4=16个参数，也就是找出16个方程就解决了问题，除与上面相同外，中间的二阶导相等，3个方程，假设第一个方程的二阶导数为0，即a1=0，b1=0,2个方程，一共16个方程。

二、原理

简而言之，就是依然对每一个小区间进行插值(每一个区间都是一个三次多项式)，但是我们不需要依赖于导数的已知；由于我们要做的就是使得端点出满足某种条件的光滑（一般来说，三次样条插值就是要满足二阶导数连续），根据这个要求，我们就可以在未知导数的情况下推导出样条函数。具体方法看下面

样条函数确定：

N个区间上，每个区间求三次样条插值函数，显然一共需要4n个条件

依然按照第一部分的方法，对中间点区间段，端点，这里分为对中间的节点部分显示条件，隐式条件

1. 显式条件：

对于给定节点：

函数值：

对于样条函数S(x)，满足：

则n个区间各有2个条件，共2n个。

2. 隐式条件：

三次样条插值，一次导数连续且二次导数连续，即满足：

这样，n个区间可以找出n-1对导数相等条件。至此，可以找出2n+2(n-1) = 4n-2个条件。

3. 边界条件：

一般来说，在整个插值区间[a,b]上，会对边界[a,b]端点有状态的要求。这就是边界条件，有了这两个边界条件，就得到了需要的4n个条件。

边界条件一般有三种：

1） 一阶条件

    即，给出端点处的一阶导数值。

2） 二阶条件

    即，给出端点处的二阶导数值。

3） 循环（周期）条件

    即，f(x)是一个周期函数时，端点a，b处的一阶导数值、二阶导数值分别相等。

具体解法：

设分段样条函数s(x)在0到n个节点处的二阶导数值，为：

那么，在区间上，显然是线性函数，且知：

那么，显然可以由线性插值，得到每一区间的线性表达式。

积分两次，就可以得到每一个。

积分，得:每一区间上的样条函数 ：

对于引入的两个常数c1,c2,使用两个边界条件，自然可以求解得到：

对所有区间，整理后得到关于Mj-1,Mj,Mj+1的方程：

其中：

这称作“三弯矩方程”。

最终，由着n-1个方程，再加两个边界条件（这里我使用一阶条件），直接带入，联立n+1个方程，得到：

至此，样条插值变为求解此矩阵形式的方程组。

可以看到，系数矩阵严格对角占优，矩阵可逆，方程组存在唯一解，从而可以解出M0…Mn。而此方程组的解法并不困难，计算非常快捷

三、三次样条插值总结

根据上述求解系数方程总结为矩阵形式

算法总结

参考：

 三次样条插值： https://blog.csdn.net/flyingleo1981/article/details/53008931/

各种插值方法及原理：https://www.cnblogs.com/duye/p/8671820.html

栗子：https://blog.csdn.net/deramer1/article/details/79034201