Leetcode 793：阶乘函数后K个零（超详细的解法！！！）

f(x) 是 x! 末尾是0的数量。（回想一下 x! = 1 * 2 * 3 * ... * x，且0! = 1）

例如， f(3) = 0 ，因为3! = 6的末尾没有0；而 f(11) = 2 ，因为11!= 39916800末端有2个0。给定 K，找出多少个非负整数x ，有 f(x) = K 的性质。

示例 1:
输入:K = 0
输出:5
解释: 0!, 1!, 2!, 3!, and 4! 均符合 K = 0 的条件。

示例 2:
输入:K = 5
输出:0
解释:没有匹配到这样的 x!，符合K = 5 的条件。

注意：

• K是范围在 [0, 10^9] 的整数。

解题思路

首先你一定可以想到暴力解法，但是数据量太大了，暴力解法显然会超时。那么怎么办？查找问题首先不难想到二分法，二分法最重要的就是判定函数怎么写。仔细思考不难发现，0只可以通过5x2得到，那么我们只要判断给定的数x有几个5即可（因为对应2的数量一定可以满足）。

def check(x):
    return 0 if x < 5 else check(x//5) + x//5

接下来我们需要通过二分法找到满足条件的最大值是谁，假设为$f(K)$，那么最后的个数就是$f(K)-f(K-1)$。使用二分法的话，我们还需要确定左右边界，显然左边界就是0，而右边界采用偷懒的方式就是2**63-1，实际上右边界不可能大于5*(K+1)（因为K!至少包含K/5个0）。

class Solution:
    def preimageSizeFZF(self, K: 'int') -> 'int':
        def check(x):
            return 0 if x < 5 else check(x//5) + x//5
        
        def bs(x):
            l, r = 0, 5*(x + 1)
            while l < r:
                mid = (l + r) >> 1
                if check(mid) <= x:
                    l = mid + 1
                else:
                    r = mid
            if check(l) == x:
                return l
            return l - 1
        return bs(K) - bs(K-1)

这个问题实际上可以通过数学解，我们知道[0,4)这个区间内的阶乘有0个0，[5,2*5)这个区间内的阶乘有1个0。。。类推下去

[0,5)   	0
[5,2*5)  	1
[2*5,3*5)  	2
[3*5,4*5)  	3
[4*5,5*5)  	4
[5*5,6*5)  	6

通过上面的例子，我们知道区间$[n{5}^m,(n+1)5^m]$区间内的数，其阶乘数最后0的个数相同。也就是说如果K个0结尾的数存在，那么一定同时存在5个，否则有0个。那么这个问题简化为判断哪些数的阶乘数结尾是0个0，哪些数是5个0。我们可以将数$x!$写成$5$进制形式：

• $x!=5^n{a}_n+5^{n-1}{a}_{n-1}+...+5^0{a}_0$

那么$f(x)$（表示计算$x$的阶乘函数）可以表示为

• $f(x)={\sum }_{i=1}^n\lfloor \frac{x}{5^i}\rfloor =a_1\ast 1+a_2\ast (1+5)+...+a_n\ast {\sum }_{i=0}^{n-1}{5}^i$

现在的问题就变成了$K$能否表示为上面这个式子，也就是判断对应$a_i$的值是不是为$5$即可。

class Solution:
    def preimageSizeFZF(self, K: 'int') -> 'int':
        x = 1
        while x < K:
            x = x * 5 + 1
        
        while K:
            x = (x - 1)//5
            if K // x == 5:
                return 0
            K %= x
        return 5

reference:

https://leetcode.com/problems/preimage-size-of-factorial-zeroes-function/discuss/117821/Four-binary-search-solutions-based-on-different-ideas

https://leetcode-cn.com/problems/preimage-size-of-factorial-zeroes-function/solution/shu-xue-tui-dao-by-jriver/

https://leetcode-cn.com/problems/preimage-size-of-factorial-zeroes-function/solution/kuai-su-cha-zhao-zui-ke-neng-de-jie-guo-by-xinzhao/

我将该问题的其他语言版本添加到了我的GitHub Leetcode

如有问题，希望大家指出！！！