浅谈阿基米德螺线

 本文从实际机构应用和生活中有趣的自然现象出发，介绍了阿基米德螺线的发现、定义、方程及其相关几何特征。

前言

最近接触到了一种利用帆布带提升的传动机构，由于这种机构的结构特点，如果卷带盘匀速转动收回带子，到帆布带的末端，其线速度会因为卷带盘直径越来越大而越来越快，在某些要求末端线速度恒定的场合是不合适的，由于卷带盘上的帆布带是阿基米德螺线，因此产生了了解阿基米德螺线的想法，如果算出了螺线弧长的表达式，就可以算出卷线盘的转速（s=v*t）。
很多人都知道飞蛾扑火这个故事。但是，为什么飞蛾会这么执着地扑向火光呢?这要从它的祖先谈起。飞蛾的历史远比人类悠久。在亿万年前，没有人造火光，飞蛾完全靠天然光源(日光、月光或星光)指引飞行。由于太阳、月亮、星星距离地球都很远，它们发出的光线照到地球上可以认为是平行直线。当飞蛾直线飞行时，它在任何位置的前进方向与光线的夹角都是一个固定值(如图1)。可是，如果光源离得很近，不能将它们发出的光线看作平行光时，飞蛾再按照固有的习惯飞行，飞出的路线就不是直线，而是一条不断折向灯光光源的螺旋形路线(如图2)。这在数学上称为阿基米德螺线。通俗的说，阿基米德螺线就是既作匀速转动又作匀速直线运动而形成的轨迹。举一个形象一点的例子：时钟上的指针在作匀速转动，假如有一只小虫子从时钟的中心，沿指针作匀速爬动，那么虫子最终走出的轨迹就是阿基米德螺线（如图3）。

阿基米德螺线简介

• 阿基米德简介及螺线的发现
  阿基米德 Archimedes（约公元前287～前212），古希腊伟大的数学家、力学家。他公元前287年生于希腊叙拉古附近的一个小村庄．11岁时去埃及，到当时世界著名学术中心、被誉为“智慧之都” 的亚历山大城跟随欧几里得的学生柯农学习，以后和亚历山大的学者保持紧密联系，因此他算是亚历山大学派的成员。
  公元前240年，阿基米德由埃及回到故乡叙拉古，并担任了国王的顾问．从此开始了对科学的全面探索，在物理学、数学等领域取得了举世瞩目的成果，成为古希腊最伟大的科学家之一．后人对阿基米德给以极高的评价，常把他和牛顿、高斯并列为有史以来三个贡献最大的数学家。
  据说，阿基米德螺线最初是由阿基米德的老师柯农(欧几里德的弟子)发现的．柯农死后，阿基米德继续研究，又发现许多重要性质，因而这种螺线就以阿基米德的名字命名了。
• 阿基米德螺线的定义及极坐标方程
  阿基米德螺线，亦称“等速螺线”。螺线是指一些围着某些定点或轴旋转且不断收缩或扩展的曲线，阿基米德螺线是一种二维螺线。在《论螺线》中，阿基米德给出了如下定义：当一点P沿动射线OP以等速率运动的同时，这射线又以等角速度绕点O旋转，点P的轨迹称为“阿基米德螺线”。它的极坐标方程为:r=aθ。
  由此即可推出阿基米德螺线的标准极坐标方程：

r = a * θ + b

式中：a是阿基米德螺线系数，mm/°，表示每旋转1度时极径的增加（或减小）量；θ是极角，单位为度，表示阿基米德螺旋线转过的总度数；b是当θ为0时的极径，mm。
改变参数b将改变螺线形状，a控制螺线间距离，通常其为常量。阿基米德螺线有两条螺线，一条θ>0，另一条θ<0。当b=0时，两条螺线在极点处平滑地连接。把其中一条翻转 180°得到其镜像，就是另一条螺线[^1]。在Mathematica中，绘制阿基米德螺线的命令如下：

a = 2;
b = 0;
r = a*θ + b;
PolarPlot[r, {θ, 0, 6*Pi}, PlotLabel -> "θ>0"]
PolarPlot[r, {θ, 0, -6*Pi}, PlotLabel -> "θ<0"]

• 在极坐标系与平面直角坐标系（笛卡尔坐标系）间转换

极坐标系中的两个坐标 r 和 θ 可以由下面的公式转换为 直角坐标系下的坐标值

x = r * cos(θ) = (a*θ + b) * cos(θ)
y = r * sin(θ) = (a*θ + b) * sin(θ)

由上述二公式，可得到从直角坐标系中x 和 y 两坐标如何计算出极坐标下的坐标

r = sqrt(x^2 + y^2)
θ = arctan(y/x)

几何特征

• 臂距
  当圆周速度与直线速度同时增大一倍时，阿基米德螺旋的形状是不会发生变化的，因此，阿基米德螺旋属于等速度比螺旋，同时由于它在每个旋转周期内是等距离外扩的，故又可称它为等距螺旋，其臂距为2πa。
• 曲率
  
• 弧长
  当b = 0时，弧长为
  

参考资料

【1】浅谈阿基米德螺线-北京师范大学环境学院-郭惠媛、姜畔（Archimedes spiral_GHY_JP）

[^1] 注：其文中写道：“阿基米德螺线有两条螺线，一条θ>0，另一条θ<0。两条螺线在极点处平滑地连接。把其中一条翻转 90°/270°得到其镜像，就是另一条螺线。”这句我认为描述不准确，阿基米德螺线是一种平面曲线，翻转90°/270°之后不共面，不能比较，若原意为绕原点旋转90°/270°，也不对，正确的应该是翻转180°。

【2】Archimedes’ Spiral—WolframMathWorld