三角学——极坐标_1

首先我要知道什么是笛卡尔坐标?如图:

三角学——极坐标_1_第1张图片

我们平常使用这个二维平面,就是笛卡尔坐标。

如果我们要确定二维平面上的任意一点,只需要给出 x 轴方向上的距离和 y 轴方向上的距离,就可以确定这个点。

现在我们给出这个点:

三角学——极坐标_1_第2张图片

在笛卡尔坐标系中,为达到这个点,我们需要右移3个单位长度,坐标为3:

三角学——极坐标_1_第3张图片

上移动4个单位长度,到达蓝色这一点:

三角学——极坐标_1_第4张图片

按照惯例,这就是横坐标,纵坐标,称这个点为(3,4):

三角学——极坐标_1_第5张图片

这是定位二维平面点的其中一种方法。

第二种方法就是,直接向那个点出发:

三角学——极坐标_1_第6张图片

如何给出这个方向呢?为什么称之为0°?

可以称这个角度为0°,设这个角度为\theta,给它指出一个方向,说它了 r 个单位长度,它会到达那个点:

三角学——极坐标_1_第7张图片

现在用另外一种方式来表示。

那一点(3,4)也可以用(r,\theta)来表示,沿 \theta 方向移动 r 个基本单位。这样说有点抽象了。我们来表示一下。

从三角函数入手,其实是运用了勾股定理,能否求出 r 和 \theta

r 比较容易求解,因为有一个直角三角型,x轴为3,y轴为4。

三角学——极坐标_1_第8张图片

根据勾股定理,3的平方 + 4的平方 等于 斜边的平方,也就是 r 方,也就是 r 等于5。

如何求 \theta ?

现在已知什么呢?

我们要求 \theta ,看看 \theta 的对边,这下我们回到了三角函数知识。

 \theta 的对边是 4 。领边同样已知,是3。这是哪个三角函数呢?是tan \theta

tan\theta等于对边比上领边。也就是纵坐标y等于4 除以 领边(横坐标)3:

tan\theta=4/3 

为求解\theta,可以对等号两边同时求arctan:

arctan(tan\theta) = arctan4/3

当然正切值的反正切,也就是arctan(tan\theta)等于\theta

\theta = arctan4/3

注意:arctan的另一种写法是,经常表示为,等同于tan^{-1}

绝大部分人都记不住arctan4/3等于多少度。一般我们使用计算机来计算。得出:53.13°:

\theta = 53.13°

现在我们知道二维平面那个点可以表示为:(5,53.13°),这是极坐标。

也就是说,从x轴沿逆时针方向转53.13°,然后移动5个单位长度,就可以得到那个点。这就是极坐标的意义。

现在我们来用学习使用一般方法来表示这一逻辑:

我们来画个图:

三角学——极坐标_1_第9张图片

如何转换 r ?转换为极坐标?(r , \theta

和我们上面做的一样,设长度 r 和 角度为 \theta

三角学——极坐标_1_第10张图片

利用勾股定理,x的平方 + y的平方 = 斜边的平方:

x^{2} + y^{2} =r^{2}

然后求tan\theta,这个角的正切值。tan\theta = 对边 除以 邻边。

tan\theta=\frac{y}{x}

如果已知 r 和 \theta ,如何求y?

r 是斜边,y 是对边。要用三角函数表示:sin\theta 等于 对边 比 斜边:

sin\theta = \frac{y}{r} 

然后两边同时乘以 r ,得到:

rsin\theta = y

我们再使用这个方法来表示 x 的等式:

x 是邻边,斜边是 r。哪个函数用到邻边和斜边?是的,使用cos\theta 。cos\theta等于邻边比斜边。

cos\theta=\frac{x}{r}

然后两边同时乘以 r ,得到:

rcos\theta = x

如果得到了由三角恒等式推导出的这个公式,rsin\theta = y 和  rsin\theta = x 是由三角函数推导出来的。

你们现在有能力可以完成极坐标和笛卡尔坐标之间的转换了。


——请不断重复练习、练习、练习、再练习。。。 

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