算法导论 4-4

1 题目

更多递归式的例子

给出下列递归式的渐近上下界，给出的界尽量紧确。

2 分析与解答

1. T(n)=3T(n/2)+nlgn，根据主定理T(n)=Θ(n^{log₂ 3})
2. T(n)=5T(n/5)+n/lgn，简单画出递归树，可得

   T(n)=∑_i=0^{log₅ n -1}n/lg(n/5ⁱ ) + nT(1)=n∑_i=0^{log₅ n -1}(1/lg(n/5ⁱ )) + Θ(n)=(n/lg5)∑_i=0^{log₅ n -1}(1/(log₅ n -i)) + Θ(n)

   令log₅ n - i =m，则T(n) = (n/lg5)∑_m=1^{log₅ n}(1/m) + Θ(n)=(n/lg5)(lnlog₅ n+O(1)) + Θ(n) = Θ(nlglgn) + O(n) + Θ(n)=Θ(nlglgn)+Θ(n) = Θ(nlglgn)，证明略

3. T(n)=4T(n/2)+n² n^1/2=Θ(n^5/2)
4. T(n)=3T(n/3 + 5)+n/2，用替换法，猜测此式与T(n)=3T(n/3)+n/2的解相同，所以 T(n)=Θ(nlgn)，因为T(n)>3T(n)+n/2，所以渐近下界是一定的；对于渐近上界，利 用传递性，假设T(n)=O((n-5)lg(n-5))，易证成立，所以T(n)=O(nlgn)
5. T(n)=2T(n/2)+n/lgn=Θ(nlglgn)
6. T(n)=T(n/2)+T(n/4)+T(n/8)+n，简单画出递归树，可得，
   

   对于渐近下界
   T(n) >= ∑_i=0^{log₈ n -1}(7/8)ⁱn + 3^{log₈ n}T(1)>n，所以T(n)=Ω(n)
   对于渐近上界
   T(n) <= ∑_i=0^{lgn -1}(7/8)ⁱn + 2T(1)<= ∑_i=0^\infinity(7/8)ⁱn + 2T(1)= 8n + Θ(1)，所以T(n)=O(n})
   所以T(n)=Θ(n)

7. T(n)=T(n-1)+1/n，画出递归树，可得

   T(n)=∑_i=0^n-11/(n-i)+T(1)=∑_j=1ⁿ1/j=lnn+O(1)+Θ(1)=Θ(lgn)

8. T(n)=T(n-1)+lgn，画出递归树，可得

   T(n)=∑_i=0^n-1lg(n-i) + T(1)=lg(n*(n-1)*…*2*1)+Θ(1)<=lg(n*n*…*n*n)+Θ(1)=nlgn+Θ(1)，所以T(n)=O(nlgn)
   同时，T(n)>=lg(n/2*n/2*…*n/2*(n/2-1)*…*2*1)+Θ(1)>=lg(n/2)^n/2+Θ(1)=n/2*lgn-n/2+Θ(1)>=n/2*lgn，所以T(n)=Ω(nlgn)，所以T(n)=Θ(nlgn)

9. T(n)=T(n-2)+2lgn，画出递归树，可得

   T(n)=∑_i=0^n/2-12lg(n-2i) + Θ(1)=2lg(n*(n-2)*..*4*2)+Θ(1)=Θ(nlgn)

10. T(n)=n^1/2T(n^1/2) + n，T(n)/n=T(n^1/2)/n^1/2+1，令S(n)=T(n)/n，得S(n)=S(n^1/2)+1，根据4-1(h)得S(n)=Θ(lglgn)，T(n)=nS(n),T(n)=Θ(nlglgn)